Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ , $g (x) = x^{- 6}$

Étape 1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (g (x))$

Étape 2

Évaluez $f (x^{- 6})$ en remplaçant la valeur de $g$ par $f$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(x^{- 6})}^{2} + 1}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{- 6})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{x^{- 6 \cdot 2} + 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{x^{- 12} + 1}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1}{x^{12}} + 1}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{12}} + 1$ en forme factorisée.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1^{3}}{x^{12}} + 1}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $x^{12}$ comme ${(x^{4})}^{3}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1^{3}}{{(x^{4})}^{3}} + 1}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{1^{3}}{{(x^{4})}^{3}}$ comme ${(\frac{1}{x^{4}})}^{3}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(\frac{1}{x^{4}})}^{3} + 1}$

Étape 3.3.4

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(\frac{1}{x^{4}})}^{3} + 1^{3}}$

Étape 3.3.5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = \frac{1}{x^{4}}$ et $b = 1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) ({(\frac{1}{x^{4}})}^{2} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.3.6

Simplifiez

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Étape 3.3.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1^{2}}{{(x^{4})}^{2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.3.6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{{(x^{4})}^{2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.3.6.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 3.3.6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{4 \cdot 2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.3.6.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.3.6.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} + 1^{2})}$

Étape 3.3.6.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} + 1)}$

Étape 3.3.6.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{4}}{x^{4}}) (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.6

Pour écrire $- \frac{1}{x^{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{8}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.7.1

Multipliez $\frac{1}{x^{4}}$ par $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{4} x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.7.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{4 + 4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.7.2.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- x^{4} + 1}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- x^{4} + 1^{2}}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.9.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- {(x^{2})}^{2} + 1^{2}}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.9.3

Remettez dans l’ordre $- {(x^{2})}^{2}$ et $1^{2}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{1^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.9.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x^{2}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.9.5

Simplifiez

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Étape 3.9.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1^{2} - x^{2})}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.9.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x^{8}} + 1)}$

Étape 3.10

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x^{8}} + \frac{x^{8}}{x^{8}})}$

Étape 3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.1

Développez $(1 + x^{2}) (1 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.12.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 (1 + x) + x^{2} (1 + x)) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x^{2} (1 + x)) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + 1 x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.2.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.12.2.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.2.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2 + 1}) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.2.4.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{3}) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.3

Développez $(1 + x + x^{2} + x^{3}) (1 - x)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.4.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.4.5.1

Déplacez $x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{2} x + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.4.8.1

Déplacez $x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - (x \cdot x^{2}) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.12.4.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - (x \cdot x^{2}) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{1 + 2} + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.9

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{3} x + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.11

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.4.11.1

Déplacez $x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - (x \cdot x^{3}) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.11.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.12.4.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - (x \cdot x^{3}) + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{1 + 3} + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.4.11.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.5

Associez les termes opposés dans $1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4}$ .

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Étape 3.12.5.1

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.5.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.5.3

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.5.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.5.5

Additionnez $- x^{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 3.12.5.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

Étape 4

Multipliez $\frac{1 + x^{4}}{x^{4}}$ par $\frac{1 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{4} x^{8}}}$

Étape 5

Multipliez $x^{4}$ par $x^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{4 + 8}}}$

Étape 5.2

Additionnez $4$ et $8$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{12}}}$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (x^{- 6}) = 1 (\frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})})$

Étape 7

Multipliez $\frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}$ par $1$ .

$f (x^{- 6}) = \frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}$