Algèbre Exemples

$- \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{11} x + \frac{1}{121}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} - \frac{2}{11} x + \frac{1}{121}$

Étape 1.1.2

Associez $x$ et $\frac{2}{11}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} - \frac{x \cdot 2}{11} + \frac{1}{121}$

Étape 1.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{11} + \frac{1}{121}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{11} + \frac{1}{121}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = - \frac{2}{11}$

$c = \frac{1}{121}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{11}}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{\frac{2}{11}}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{2}{11} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{11} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $\frac{1}{11}$ par $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{1}{11 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.3.2.5

Associez $11$ et $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{1}{\frac{11}{3}}$

Étape 1.2.3.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 1 (\frac{3}{11})$

Étape 1.2.3.2.7

Multipliez $\frac{3}{11}$ par $1$ .

$d = \frac{3}{11}$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{121} - \frac{{(- \frac{2}{11})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{11}$ .

$e = \frac{1}{121} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{11})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{121} - \frac{1 {(\frac{2}{11})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{11}$ .

$e = \frac{1}{121} - \frac{1 \frac{2^{2}}{11^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{121} - \frac{1 \frac{4}{11^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.5

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{1}{121} - \frac{1 (\frac{4}{121})}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{4}{121}$ par $1$ .

$e = \frac{1}{121} - \frac{\frac{4}{121}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = \frac{1}{121} - \frac{\frac{4}{121}}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{1}{121} - \frac{\frac{4}{121}}{\frac{- 4}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{1}{121} - \frac{\frac{4}{121}}{- \frac{4}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{1}{121} - (\frac{4}{121} (- \frac{3}{4}))$

Étape 1.2.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.4.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$e = \frac{1}{121} - (\frac{4}{121} \cdot \frac{- 3}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{1}{121} - (\frac{4}{121} \cdot \frac{- 3}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{1}{121} - (\frac{1}{121} \cdot - 3)$

Étape 1.2.4.2.1.6

Associez $\frac{1}{121}$ et $- 3$ .

$e = \frac{1}{121} - \frac{- 3}{121}$

Étape 1.2.4.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{1}{121} - - \frac{3}{121}$

Étape 1.2.4.2.1.8

Multipliez $- - \frac{3}{121}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = \frac{1}{121} + 1 (\frac{3}{121})$

Étape 1.2.4.2.1.8.2

Multipliez $\frac{3}{121}$ par $1$ .

$e = \frac{1}{121} + \frac{3}{121}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{1 + 3}{121}$

Étape 1.2.4.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$e = \frac{4}{121}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{3} {(x + \frac{3}{11})}^{2} + \frac{4}{121}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + \frac{3}{11})}^{2} + \frac{4}{121}$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + \frac{3}{11})}^{2} + \frac{4}{121}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = - \frac{3}{11}$

$k = \frac{4}{121}$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- \frac{3}{11}, \frac{4}{121})$

Étape 4