Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 81}{x^{2} - 11 x + 18}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 81$ et $g (x) = x^{2} - 11 x + 18$ .

$\frac{(x^{2} - 11 x + 18) \frac{d}{d x} [x^{2} - 81] - (x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 18]}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 81$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{(x^{2} - 11 x + 18) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81]) - (x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 18]}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 11 x + 18) (2 x + \frac{d}{d x} [- 81]) - (x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 18]}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 11 x + 18) (2 x + 0) - (x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 18]}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 11 x + 18) (2 x) - (x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 18]}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 11 x + 18$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 11 x + 18) x - (x^{2} - 81) \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 18]}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 11 x + 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 11 x + 18) x - (x^{2} - 81) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [18])}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 11 x + 18) x - (x^{2} - 81) (2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [18])}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 11 x + 18) x - (x^{2} - 81) (2 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 11 x + 18) x - (x^{2} - 81) (2 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 11 x + 18) x - (x^{2} - 81) (2 x - 11 + \frac{d}{d x} [18])}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2.10

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 11 x + 18) x - (x^{2} - 81) (2 x - 11 + 0)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.2.11

Additionnez $2 x - 11$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 11 x + 18) x - (x^{2} - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 11 x) + 2 \cdot 18) x - (x^{2} - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 11 x) x + 2 \cdot 18 x - (x^{2} - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 11 x) x + 2 \cdot 18 x + (- x^{2} - - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 (- 11 x) x + 2 \cdot 18 x + (- x^{2} - - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 (- 11 x) x + 2 \cdot 18 x + (- x^{2} - - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 (- 11 x) x + 2 \cdot 18 x + (- x^{2} - - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 11 x) x + 2 \cdot 18 x + (- x^{2} - - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 11 (x \cdot x)) + 2 \cdot 18 x + (- x^{2} - - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 11 x^{2}) + 2 \cdot 18 x + (- x^{2} - - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.3

Multipliez $- 11$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 2 \cdot 18 x + (- x^{2} - - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.4

Multipliez $2$ par $18$ .

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x + (- x^{2} - - 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 81$ .

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x + (- x^{2} + 81) (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6

Développez $(- x^{2} + 81) (2 x - 11)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - x^{2} (2 x - 11) + 81 (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 11 + 81 (2 x - 11)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 11 + 81 (2 x) + 81 \cdot - 11}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.7

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 11 + 81 (2 x) + 81 \cdot - 11}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 11 + 81 (2 x) + 81 \cdot - 11}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 11 + 81 (2 x) + 81 \cdot - 11}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 11 + 81 (2 x) + 81 \cdot - 11}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 11 + 81 (2 x) + 81 \cdot - 11}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.7.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 11 + 81 (2 x) + 81 \cdot - 11}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.7.4

Multipliez $- 11$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - 2 x^{3} + 11 x^{2} + 81 (2 x) + 81 \cdot - 11}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.7.5

Multipliez $2$ par $81$ .

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - 2 x^{3} + 11 x^{2} + 162 x + 81 \cdot - 11}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.7.6

Multipliez $81$ par $- 11$ .

$\frac{2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - 2 x^{3} + 11 x^{2} + 162 x - 891}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 22 x^{2} + 36 x - 2 x^{3} + 11 x^{2} + 162 x - 891$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 22 x^{2} + 36 x + 0 + 11 x^{2} + 162 x - 891}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.2.2

Additionnez $- 22 x^{2} + 36 x$ et $0$ .

$\frac{- 22 x^{2} + 36 x + 11 x^{2} + 162 x - 891}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.3

Additionnez $- 22 x^{2}$ et $11 x^{2}$ .

$\frac{- 11 x^{2} + 36 x + 162 x - 891}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.4.4

Additionnez $36 x$ et $162 x$ .

$\frac{- 11 x^{2} + 198 x - 891}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Factorisez $11$ à partir de $- 11 x^{2} + 198 x - 891$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1.1

Factorisez $11$ à partir de $- 11 x^{2}$ .

$\frac{11 (- x^{2}) + 198 x - 891}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.1.2

Factorisez $11$ à partir de $198 x$ .

$\frac{11 (- x^{2}) + 11 (18 x) - 891}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.1.3

Factorisez $11$ à partir de $- 891$ .

$\frac{11 (- x^{2}) + 11 (18 x) + 11 (- 81)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.1.4

Factorisez $11$ à partir de $11 (- x^{2}) + 11 (18 x)$ .

$\frac{11 (- x^{2} + 18 x) + 11 (- 81)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.1.5

Factorisez $11$ à partir de $11 (- x^{2} + 18 x) + 11 (- 81)$ .

$\frac{11 (- x^{2} + 18 x - 81)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ et dont la somme est $b = 18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.2.1.1

Factorisez $18$ à partir de $18 x$ .

$\frac{11 (- x^{2} + 18 (x) - 81)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2.1.2

Réécrivez $18$ comme $9$ plus $9$

$\frac{11 (- x^{2} + (9 + 9) x - 81)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 (- x^{2} + 9 x + 9 x - 81)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{11 ((- x^{2} + 9 x) + 9 x - 81)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{11 (x (- x + 9) - 9 (- x + 9))}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 9$ .

$\frac{11 ((- x + 9) (x - 9))}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

$\frac{11 (- x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{11 (- (x) + 9) (x - 9)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3.2

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{11 (- (x) - 1 (- 9)) (x - 9)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{11 (- (x - 9)) (x - 9)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3.4

Réécrivez $- (x - 9)$ comme $- 1 (x - 9)$ .

$\frac{11 (- 1 (x - 9)) (x - 9)}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3.5

Élevez $x - 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{11 \cdot - 1 ({(x - 9)}^{1} (x - 9))}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3.6

Élevez $x - 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{11 \cdot - 1 ({(x - 9)}^{1} {(x - 9)}^{1})}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{11 \cdot - 1 {(x - 9)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{11 \cdot - 1 {(x - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3.9

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$\frac{- 11 {(x - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 11 x + 18)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Factorisez $x^{2} - 11 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 9, - 2$

Étape 1.3.6.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{- 11 {(x - 9)}^{2}}{{((x - 9) (x - 2))}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 9) (x - 2)$ .

$\frac{- 11 {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.7

Annulez le facteur commun de ${(x - 9)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 11 {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 11}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{11}{{(x - 2)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 11 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ comme ${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 11 \frac{d}{d x} {({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 11 \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{2 \cdot - 1}$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 11 \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{- 2}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$f'' (x) = - 11 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 11 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$f'' (x) = - 11 (- 2 {(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 11$ .

$f'' (x) = 22 ({(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 22 {(x - 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 22 {(x - 2)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Étape 2.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 22 {(x - 2)}^{- 3} (1 + 0)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 22 {(x - 2)}^{- 3} \cdot 1$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $22$ par $1$ .

$f'' (x) = 22 {(x - 2)}^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 22 (\frac{1}{{(x - 2)}^{3}})$

Étape 2.4.2

Associez $22$ et $\frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{22}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{11}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6