Algèbre Exemples

$\sin (a) = \frac{12}{13}$ , $\sin (2 a)$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (a) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = \sqrt{{(13)}^{2} - {(12)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= \sqrt{169 - {(12)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= \sqrt{169 - 1 \cdot 144}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $144$ .

Adjacent $= \sqrt{169 - 144}$

Étape 4.4

Soustrayez $144$ de $169$ .

Adjacent $= \sqrt{25}$

Étape 4.5

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

Adjacent $= \sqrt{5^{2}}$

Étape 4.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Adjacent $= 5$

Étape 5

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (a)$ .

$\sin (a) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 6

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (a) = \frac{12}{13}$

Étape 7

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (a) \cos (a)$

Étape 8

Utilisez la définition de $s i n$ pour déterminer la valeur de $\sin (a)$ . Dans ce cas, $\sin (a) = \frac{12}{13}$ .

$\sin (a) = \frac{12}{13}$

Étape 9

Utilisez la définition de $c o s$ pour déterminer la valeur de $\cos (a)$ . Dans ce cas, $\cos (a) = \frac{5}{13}$ .

$\cos (a) = \frac{5}{13}$

Étape 10

Remplacez les valeurs dans $2 \sin (a) \cos (a)$ .

$\sin (2 a) = 2 (\frac{12}{13}) \cdot \frac{5}{13}$

Étape 11

Évaluez $2 (\frac{12}{13}) \cdot \frac{5}{13}$ pour déterminer $\sin (2 a)$ .

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Étape 11.1

Multipliez $2 (\frac{12}{13})$ .

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Étape 11.1.1

Associez $2$ et $\frac{12}{13}$ .

$\sin (2 a) = \frac{2 \cdot 12}{13} \cdot \frac{5}{13}$

Étape 11.1.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$\sin (2 a) = \frac{24}{13} \cdot \frac{5}{13}$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{24}{13} \cdot \frac{5}{13}$ .

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Étape 11.2.1

Multipliez $\frac{24}{13}$ par $\frac{5}{13}$ .

$\sin (2 a) = \frac{24 \cdot 5}{13 \cdot 13}$

Étape 11.2.2

Multipliez $24$ par $5$ .

$\sin (2 a) = \frac{120}{13 \cdot 13}$

Étape 11.2.3

Multipliez $13$ par $13$ .

$\sin (2 a) = \frac{120}{169}$