Algèbre Exemples

$y = x^{2} \sqrt{x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d y} [x^{2 + \frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{5}{2}}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 4.8

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} x'$

Étape 4.9

Associez $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ et $x'$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2}$

Étape 6

Résolvez $x'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2} = 1$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2} = 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Associez.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} x')}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} x')}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{5} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{5} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1.1.5.1

Divisez $x^{\frac{3}{2}} x'$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} x' = \frac{2}{5} \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{\frac{3}{2}} x'$ .

$x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $1$ .

$x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5}$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5}$ par $x^{\frac{3}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5}$ par $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x' x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.4.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{\frac{2}{5}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x' = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.4.3.2

Associez.

$x' = \frac{2 \cdot 1}{5 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.4.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$x' = \frac{2}{5 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2}{5 x^{\frac{3}{2}}}$