Algèbre Exemples

$2 y^{2} = \frac{5 x - 3}{5 x + 3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (2 y^{2}) = \frac{d}{d y} (\frac{5 x - 3}{5 x + 3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 y)$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = 5 x - 3$ et $g (y) = 5 x + 3$ .

$\frac{(5 x + 3) \frac{d}{d y} [5 x - 3] - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{(5 x + 3) (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 x' + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 x' + 0) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $5 x'$ et $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 x') - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Déplacez $5$ à gauche de $5 x + 3$ .

$\frac{5 \cdot (5 x + 3) x' - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.8

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x' + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x' + 0)}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Additionnez $5 x'$ et $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x')}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 (5 x) + 5 \cdot 3) x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' + (- 5 (5 x) - 5 \cdot - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.11.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x) x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.5.1

Associez les termes opposés dans $5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x) x' - 5 \cdot - 3 x'$ .

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Étape 3.11.5.1.1

Soustrayez $5 (5 x) x'$ de $5 (5 x) x'$ .

$\frac{5 \cdot 3 x' + 0 - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.11.5.1.2

Additionnez $5 \cdot 3 x'$ et $0$ .

$\frac{5 \cdot 3 x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.11.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.5.2.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.11.5.2.2

Multipliez $- 5$ par $- 3$ .

$\frac{15 x' + 15 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.11.5.3

Additionnez $15 x'$ et $15 x'$ .

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 y = \frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} = 4 y$ .

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} = 4 y$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par ${(5 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} {(5 x + 3)}^{2} = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun de ${(5 x + 3)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} {(5 x + 3)}^{2} = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$ par $30$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$ par $30$ .

$\frac{30 x'}{30} = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{30 x'}{30} = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $30$ .

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Étape 5.4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y {(5 x + 3)}^{2}$ .

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{30}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{2 (15)}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{2 \cdot 15}$

Étape 5.4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{2 y {(5 x + 3)}^{2}}{15}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 y {(5 x + 3)}^{2}}{15}$