Algèbre Exemples

$\frac{3 x}{- 4 x + 4} \geq 8$

Étape 1

Résolvez $\frac{32}{35} \leq x < 1$ .

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $- 4 x + 4$ .

$\frac{3 x}{- 4 x + 4} (- 4 x + 4) = 8 (- 4 x + 4)$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez $\frac{3 x}{- 4 x + 4} (- 4 x + 4)$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 4$ .

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Étape 1.2.1.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{3 x}{4 (- x) + 4} (- 4 x + 4) = 8 (- 4 x + 4)$

Étape 1.2.1.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{3 x}{4 (- x) + 4 (1)} (- 4 x + 4) = 8 (- 4 x + 4)$

Étape 1.2.1.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (1)$ .

$\frac{3 x}{4 (- x + 1)} (- 4 x + 4) = 8 (- 4 x + 4)$

Étape 1.2.1.1.2

Multipliez $\frac{3 x}{4 (- x + 1)}$ par $- 4 x + 4$ .

$\frac{3 x (- 4 x + 4)}{4 (- x + 1)} = 8 (- 4 x + 4)$

Étape 1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun à $- 4 x + 4$ et $4$ .

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Étape 1.2.1.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $3 x (- 4 x + 4)$ .

$\frac{4 (3 x (- x + 1))}{4 (- x + 1)} = 8 (- 4 x + 4)$

Étape 1.2.1.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 x (- x + 1))}{4 (- x + 1)} = 8 (- 4 x + 4)$

Étape 1.2.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x (- x + 1)}{- x + 1} = 8 (- 4 x + 4)$

Étape 1.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $- x + 1$ .

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Étape 1.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x (- x + 1)}{- x + 1} = 8 (- 4 x + 4)$

Étape 1.2.1.1.4.2

Divisez $3 x$ par $1$ .

$3 x = 8 (- 4 x + 4)$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez $8 (- 4 x + 4)$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x = 8 (- 4 x) + 8 \cdot 4$

Étape 1.2.2.1.2

Multipliez.

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Étape 1.2.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$3 x = - 32 x + 8 \cdot 4$

Étape 1.2.2.1.2.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$3 x = - 32 x + 32$

Étape 1.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.3.1.1

Ajoutez $32 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x + 32 x = 32$

Étape 1.3.1.2

Additionnez $3 x$ et $32 x$ .

$35 x = 32$

Étape 1.3.2

Divisez chaque terme dans $35 x = 32$ par $35$ et simplifiez.

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Étape 1.3.2.1

Divisez chaque terme dans $35 x = 32$ par $35$ .

$\frac{35 x}{35} = \frac{32}{35}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $35$ .

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Étape 1.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{35 x}{35} = \frac{32}{35}$

Étape 1.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{32}{35}$

Étape 1.4

Déterminez le domaine de $\frac{3 x}{4 (- x + 1)} - 8$ .

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Étape 1.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x}{4 (- x + 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 (- x + 1) = 0$

Étape 1.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 (- x + 1) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.4.2.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (- x + 1) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (- x + 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.4.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.4.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- x + 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.4.2.1.2.1.2

Divisez $- x + 1$ par $1$ .

$- x + 1 = \frac{0}{4}$

Étape 1.4.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$- x + 1 = 0$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 1.4.2.3

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.4.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.4.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.4.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.4.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 1.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 1.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{32}{35}$

$\frac{32}{35} < x < 1$

$x > 1$

Étape 1.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{32}{35}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{32}{35}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.6.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (0)}{- 4 \cdot 0 + 4} \geq 8$

Étape 1.6.1.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{32}{35} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{32}{35} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.96$

Étape 1.6.2.2

Remplacez $x$ par $0.96$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (0.96)}{- 4 \cdot 0.96 + 4} \geq 8$

Étape 1.6.2.3

Le côté gauche $18$ est supérieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (4)}{- 4 \cdot 4 + 4} \geq 8$

Étape 1.6.3.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{32}{35}$ Faux

$\frac{32}{35} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < \frac{32}{35}$ Faux

$\frac{32}{35} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 1.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{32}{35} \leq x < 1$

Étape 2

Utilisez l’inégalité $\frac{32}{35} \leq x < 1$ pour créer la notation de l’ensemble.

${x | \frac{32}{35} \leq x < 1}$

Étape 3