Algèbre Exemples

$y = x^{2} \sqrt{x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [x^{2 + \frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$