Algèbre Exemples

$y = \cot^{2} (\cos (x))$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cot^{2} (\cos (x)))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cot (\cos (x))$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cot (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cot (\cos (x))$ .

$2 \cot (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$2 \cot (\cos (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\cos (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$2 \cot (\cos (x)) (- \csc^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \cot (\cos (x)) (\csc^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Réorganisez les facteurs de $2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x)$ .

$2 \csc^{2} (\cos (x)) \cot (\cos (x)) \sin (x)$

Étape 3.6.2

Réécrivez $\csc (\cos (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 {(\frac{1}{\sin (\cos (x))})}^{2} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

Étape 3.6.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

Étape 3.6.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

Étape 3.6.5

Associez $2$ et $\frac{1}{\sin^{2} (\cos (x))}$ .

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

Étape 3.6.6

Réécrivez $\cot (\cos (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (x))} \cdot \frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))} \sin (x)$

Étape 3.6.7

Associez.

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{2} (\cos (x)) \sin (\cos (x))} \sin (x)$

Étape 3.6.8

Multipliez $\sin^{2} (\cos (x))$ par $\sin (\cos (x))$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.8.1

Multipliez $\sin^{2} (\cos (x))$ par $\sin (\cos (x))$ .

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Étape 3.6.8.1.1

Élevez $\sin (\cos (x))$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{2} (\cos (x)) \sin^{1} (\cos (x))} \sin (x)$

Étape 3.6.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{{\sin (\cos (x))}^{2 + 1}} \sin (x)$

Étape 3.6.8.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{3} (\cos (x))} \sin (x)$

Étape 3.6.9

Associez $\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{3} (\cos (x))}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (\cos (x)) \sin (x)}{\sin^{3} (\cos (x))}$

Étape 3.6.10

Factorisez $\sin (\cos (x))$ à partir de $\sin^{3} (\cos (x))$ .

$\frac{2 \cos (\cos (x)) \sin (x)}{\sin (\cos (x)) \sin^{2} (\cos (x))}$

Étape 3.6.11

Séparez les fractions.

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (\cos (x))} \cdot \frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))}$

Étape 3.6.12

Convertissez de $\frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))}$ à $\cot (\cos (x))$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.13

Factorisez $\sin (\cos (x))$ à partir de $\sin^{2} (\cos (x))$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\sin (\cos (x)) \sin (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.14

Séparez les fractions.

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.15

Réécrivez $\frac{\sin (x)}{\sin (\cos (x))}$ comme un produit.

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.16

Écrivez $\sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.17

Simplifiez

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Étape 3.6.17.1

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.17.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ à $\csc (\cos (x))$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.18

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.19

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ à $\csc (\cos (x))$ .

$\frac{2}{1} \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.20

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.21

Multipliez $2 \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x)))$ .

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Étape 3.6.21.1

Élevez $\csc (\cos (x))$ à la puissance $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (x)) \csc (\cos (x))) \sin (x) \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.21.2

Élevez $\csc (\cos (x))$ à la puissance $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (x)) \csc^{1} (\cos (x))) \sin (x) \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.21.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\csc (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x) \cot (\cos (x))$

Étape 3.6.21.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x) \cot (\cos (x))$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x) \cot (\cos (x))$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x) \cot (\cos (x))$