Algèbre Exemples

$y = \ln (\frac{x^{4}}{x + 3})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x^{4}}{x + 3}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x^{4}}{x + 3}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{4}}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Étape 3.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$1 \frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{x + 3}{x^{4}}$ par $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 \cdot (x + 3) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.6

Associez les fractions.

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Étape 3.5.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5.6.3

Multipliez $\frac{x + 3}{x^{4}}$ par $\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{x^{4} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $x^{4} {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x + 4 \cdot 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Étape 3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Étape 3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Étape 3.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.4.1.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.4.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Étape 3.7.4.1.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 3.7.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Étape 3.7.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Étape 3.7.4.1.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Étape 3.7.4.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Étape 3.7.4.2

Soustrayez $x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Étape 3.7.5

Associez des termes.

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Étape 3.7.5.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.5.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 3.7.5.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot 3}$

Étape 3.7.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4 + 1} + x^{4} \cdot 3}$

Étape 3.7.5.1.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + x^{4} \cdot 3}$

Étape 3.7.5.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Étape 3.7.6

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $3 x^{4} + 12 x^{3}$ .

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Étape 3.7.6.1

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Étape 3.7.6.2

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Étape 3.7.6.3

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Étape 3.7.7

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5} + 3 x^{4}$ .

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Étape 3.7.7.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + 3 x^{4}}$

Étape 3.7.7.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Étape 3.7.7.3

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} (x + 3)}$

Étape 3.7.8

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

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Étape 3.7.8.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $3 x^{3} (x + 4)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{4} (x + 3)}$

Étape 3.7.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.8.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} (x + 3)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Étape 3.7.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Étape 3.7.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$