Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}}{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}$ et $g (x) = \sqrt{4 x^{4} y^{8}}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}]$ comme $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $8 x^{6} y^{12}$ comme ${(2 x^{2} y^{4})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{{(2 x^{2} y^{4})}^{3}}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{4}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 3

Comme $2 y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2} y^{4}$ par rapport à $x$ est $2 y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (2 y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (2 y^{4} (2 x)) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (4 y^{4} x) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]$ comme $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez $4 x^{4} y^{8}$ comme ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (4 y^{4} x) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d x} [\sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (4 y^{4} x) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{4}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 7

Comme $2 y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2} y^{4}$ par rapport à $x$ est $2 y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (4 y^{4} x) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (2 y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (4 y^{4} x) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (2 y^{4} (2 x))}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 9

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (4 y^{4} x) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 \sqrt{4 x^{4} y^{8}} (y^{4} x) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.2

Réécrivez $4 x^{4} y^{8}$ comme ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}} (y^{4} x) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4 (2 x^{2} y^{4}) (y^{4} x) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x^{2}) y^{4}) y^{4} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (2 (x^{1} x^{2}) y^{4}) y^{4} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (2 x^{1 + 2} y^{4}) y^{4} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 (2 x^{3} y^{4}) y^{4} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.5

Multipliez $y^{4}$ par $y^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.5.1

Déplacez $y^{4}$ .

$\frac{4 (2 x^{3} (y^{4} y^{4})) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (2 x^{3} y^{4 + 4}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.5.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{4 (2 x^{3} y^{8}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 (x^{3} y^{8}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.7

Réécrivez $8 x^{6} y^{12}$ comme ${(2 x^{2} y^{4})}^{3}$ .

$\frac{8 x^{3} y^{8} - \sqrt[3]{{(2 x^{2} y^{4})}^{3}} (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{8 x^{3} y^{8} - (2 x^{2} y^{4}) (4 y^{4} x)}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.9

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.9.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 x^{3} y^{8} - (2 (x \cdot x^{2}) y^{4}) (4 y^{4})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.9.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 x^{3} y^{8} - (2 (x^{1} x^{2}) y^{4}) (4 y^{4})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 x^{3} y^{8} - (2 x^{1 + 2} y^{4}) (4 y^{4})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.9.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{8 x^{3} y^{8} - (2 x^{3} y^{4}) (4 y^{4})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.10

Multipliez $y^{4}$ par $y^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.10.1

Déplacez $y^{4}$ .

$\frac{8 x^{3} y^{8} - (2 x^{3} (y^{4} y^{4})) \cdot 4}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 x^{3} y^{8} - (2 x^{3} y^{4 + 4}) \cdot 4}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.10.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{8 x^{3} y^{8} - (2 x^{3} y^{8}) \cdot 4}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{8 x^{3} y^{8} - 2 (x^{3} y^{8}) \cdot 4}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.12

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{8 x^{3} y^{8} - 8 x^{3} y^{8}}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.2

Soustrayez $8 x^{3} y^{8}$ de $8 x^{3} y^{8}$ .

$\frac{0}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Réécrivez $\frac{0}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$ comme $\frac{0}{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Réécrivez $4 x^{4} y^{8}$ comme ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{0}{{\sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}}^{2}}$

Étape 10.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{0}{{(2 (x^{2} y^{4}))}^{2}}$

Étape 10.2.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x^{2} y^{4})$ .

$\frac{0}{2^{2} {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.2.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\frac{4 (0)}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{4 (0)}{4 ({(x^{2} y^{4})}^{2})}$

Étape 10.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 0}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{{(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{0}{{(y^{4} x^{2})}^{2}}$

Étape 10.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Appliquez la règle de produit à $y^{4} x^{2}$ .

$\frac{0}{{(y^{4})}^{2} {(x^{2})}^{2}}$

Étape 10.4.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{4})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{y^{4 \cdot 2} {(x^{2})}^{2}}$

Étape 10.4.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{0}{y^{8} {(x^{2})}^{2}}$

Étape 10.4.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{y^{8} x^{2 \cdot 2}}$

Étape 10.4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{y^{8} x^{4}}$

Étape 10.5

Divisez $0$ par $y^{8} x^{4}$ .

$0$