Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}}{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}$ et $g (y) = \sqrt{4 x^{4} y^{8}}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}]$ comme $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $8 x^{6} y^{12}$ comme ${(2 x^{2} y^{4})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [\sqrt[3]{{(2 x^{2} y^{4})}^{3}}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 3

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{2} y^{4}$ par rapport à $y$ est $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (2 x^{2} (4 y^{3})) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 x^{2} y^{3}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 5.2

Réorganisez les facteurs de $8 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]$ comme $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $4 x^{4} y^{8}$ comme ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 7

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{2} y^{4}$ par rapport à $y$ est $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}])}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (2 x^{2} (4 y^{3}))}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 x^{2} y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 9.2

Réorganisez les facteurs de $8 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 \sqrt{4 x^{4} y^{8}} (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.2

Réécrivez $4 x^{4} y^{8}$ comme ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}} (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{8 (2 x^{2} y^{4}) (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{8 (2 (x^{2} x^{2}) y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 (2 x^{2 + 2} y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{8 (2 x^{4} y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.5

Multipliez $y^{4}$ par $y^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1.5.1

Déplacez $y^{3}$ .

$\frac{8 (2 x^{4} (y^{3} y^{4})) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 (2 x^{4} y^{3 + 4}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.5.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{8 (2 x^{4} y^{7}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.6

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16 (x^{4} y^{7}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.7

Réécrivez $8 x^{6} y^{12}$ comme ${(2 x^{2} y^{4})}^{3}$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - \sqrt[3]{{(2 x^{2} y^{4})}^{3}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{2} y^{4}) (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.9

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1.9.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 (x^{2} x^{2}) y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{2 + 2} y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.9.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.10

Multipliez $y^{4}$ par $y^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1.10.1

Déplacez $y^{3}$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} (y^{3} y^{4})) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{3 + 4}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.10.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{7}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - 2 (x^{4} y^{7}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.1.12

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$\frac{16 x^{4} y^{7} - 16 x^{4} y^{7}}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.1.2

Soustrayez $16 x^{4} y^{7}$ de $16 x^{4} y^{7}$ .

$\frac{0}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

Étape 10.2

Associez des termes.

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Étape 10.2.1

Réécrivez $\frac{0}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$ comme $\frac{0}{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}$ .

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Étape 10.2.1.1

Réécrivez $4 x^{4} y^{8}$ comme ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{0}{{\sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}}^{2}}$

Étape 10.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{0}{{(2 (x^{2} y^{4}))}^{2}}$

Étape 10.2.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x^{2} y^{4})$ .

$\frac{0}{2^{2} {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.2.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 10.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\frac{4 (0)}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(x^{2} y^{4})}^{2}$ .

$\frac{4 (0)}{4 ({(x^{2} y^{4})}^{2})}$

Étape 10.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 0}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{{(x^{2} y^{4})}^{2}}$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{0}{{(y^{4} x^{2})}^{2}}$

Étape 10.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.4.1

Appliquez la règle de produit à $y^{4} x^{2}$ .

$\frac{0}{{(y^{4})}^{2} {(x^{2})}^{2}}$

Étape 10.4.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{4})}^{2}$ .

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Étape 10.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{y^{4 \cdot 2} {(x^{2})}^{2}}$

Étape 10.4.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{0}{y^{8} {(x^{2})}^{2}}$

Étape 10.4.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 10.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{y^{8} x^{2 \cdot 2}}$

Étape 10.4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{y^{8} x^{4}}$

Étape 10.5

Divisez $0$ par $y^{8} x^{4}$ .

$0$