Algèbre Exemples

$(10, - 5)$ , $(5, 0)$

Étape 1

L’équation générale d’une parabole avec sommet $(h, k)$ est $y = a {(x - h)}^{2} + k$ . Dans ce cas nous avons $(10, - 5)$ comme sommet $(h, k)$ et $(5, 0)$ est un point $(x, y)$ sur la parabole. Pour déterminer $a$ , remplacez les deux points dans $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

$0 = a {(5 - (10))}^{2} - 5$

Étape 2

Utilisation de $0 = a {(5 - (10))}^{2} - 5$ pour résoudre $a$ , $a = \frac{1}{5}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $a {(5 - (10))}^{2} - 5 = 0$ .

$a {(5 - (10))}^{2} - 5 = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$a {(5 - 10)}^{2} - 5 = 0$

Étape 2.2.2

Soustrayez $10$ de $5$ .

$a {(- 5)}^{2} - 5 = 0$

Étape 2.2.3

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$a \cdot 25 - 5 = 0$

Étape 2.2.4

Déplacez $25$ à gauche de $a$ .

$25 a - 5 = 0$

Étape 2.3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$25 a = 5$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $25 a = 5$ par $25$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $25 a = 5$ par $25$ .

$\frac{25 a}{25} = \frac{5}{25}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 a}{25} = \frac{5}{25}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{5}{25}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Annulez le facteur commun à $5$ et $25$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$a = \frac{5 (1)}{25}$

Étape 2.4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$a = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Étape 2.4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = \frac{1}{5}$

Étape 3

Avec $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , l’équation générale de la parabole avec le sommet $(10, - 5)$ et $a = \frac{1}{5}$ est $y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$ .

$y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$

Étape 4

Résolvez $y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$ pour $y$ .

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

$y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par ${(x - (10))}^{2}$ .

$y = \frac{1}{5} \cdot {(x - (10))}^{2} - 5$

Étape 4.3

Supprimez les parenthèses.

$y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$

Étape 4.4

Simplifiez $(\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$y = \frac{1}{5} {(x - 10)}^{2} - 5$

Étape 4.4.1.2

Réécrivez ${(x - 10)}^{2}$ comme $(x - 10) (x - 10)$ .

$y = \frac{1}{5} ((x - 10) (x - 10)) - 5$

Étape 4.4.1.3

Développez $(x - 10) (x - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} (x (x - 10) - 10 (x - 10)) - 5$

Étape 4.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)) - 5$

Étape 4.4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10) - 5$

Étape 4.4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10) - 5$

Étape 4.4.1.4.1.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10) - 5$

Étape 4.4.1.4.1.3

Multipliez $- 10$ par $- 10$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{2} - 10 x - 10 x + 100) - 5$

Étape 4.4.1.4.2

Soustrayez $10 x$ de $- 10 x$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{2} - 20 x + 100) - 5$

Étape 4.4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{1}{5} (- 20 x) + \frac{1}{5} \cdot 100 - 5$

Étape 4.4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.4.1.6.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{1}{5} (- 20 x) + \frac{1}{5} \cdot 100 - 5$

Étape 4.4.1.6.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.4.1.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 20 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{1}{5} (5 (- 4 x)) + \frac{1}{5} \cdot 100 - 5$

Étape 4.4.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{1}{5} (5 (- 4 x)) + \frac{1}{5} \cdot 100 - 5$

Étape 4.4.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{5} - 4 x + \frac{1}{5} \cdot 100 - 5$

Étape 4.4.1.6.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.4.1.6.3.1

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - 4 x + \frac{1}{5} \cdot (5 (20)) - 5$

Étape 4.4.1.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{5} - 4 x + \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 20) - 5$

Étape 4.4.1.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{5} - 4 x + 20 - 5$

Étape 4.4.2

Soustrayez $5$ de $20$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - 4 x + 15$

Étape 5

La forme normalisée et le sommet sont les suivants.

Forme normalisée : $y = \frac{1}{5} x^{2} - 4 x + 15$

Forme du sommet : $y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$

Étape 6

Simplifiez la forme normalisée.

Forme normalisée : $y = \frac{1}{5} x^{2} - 4 x + 15$

Forme du sommet : $y = \frac{1}{5} {(x - 10)}^{2} - 5$

Étape 7