Algèbre Exemples

$e^{y} \sin (x) = x + x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (e^{y} \sin (x)) = \frac{d}{d y} (x + x y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d y} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \sin (y)$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$e^{y} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$e^{y} (\cos (u) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$e^{y} (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) e^{y}$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$x' + x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x' + x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' + x \cdot 1 + y x'$

Étape 3.3.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x' + x + y x'$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y x' + x + x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$ .

$x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

Étape 5.2

Comme $x'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$y x' + x + x' = x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x)$

Étape 5.3

Soustrayez $x' e^{y} \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$y x' + x + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x)$

Étape 5.4

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y x' + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Étape 5.5

Factorisez $x'$ à partir de $y x' + x' - x' e^{y} \cos (x)$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $x'$ à partir de $y x'$ .

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Étape 5.5.2

Élevez $x'$ à la puissance $1$ .

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Étape 5.5.3

Factorisez $x'$ à partir de ${x'}^{1}$ .

$x' y + x' \cdot 1 - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Étape 5.5.4

Factorisez $x'$ à partir de $- x' e^{y} \cos (x)$ .

$x' (y) + x' \cdot 1 + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Étape 5.5.5

Factorisez $x'$ à partir de $x' y + x' \cdot 1$ .

$x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Étape 5.5.6

Factorisez $x'$ à partir de $x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x))$ .

$x' (y + 1 - 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1 e^{y}$ comme $- e^{y}$ .

$x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Étape 5.7

Divisez chaque terme dans $x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ par $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ par $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ .

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ .

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Étape 5.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Étape 5.7.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Étape 5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} - \frac{x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Étape 5.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$