Algèbre Exemples

$z = w^{\frac{3}{2}} (w + c e^{w})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d z} (z) = \frac{d}{d z} (w^{\frac{3}{2}} (w + c e^{w}))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $w^{\frac{3}{2}}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $w^{\frac{3}{2}} (w + c e^{w})$ par rapport à $z$ est $w^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d z} [w + c e^{w}]$ .

$w^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d z} [w + c e^{w}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w + c e^{w}$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [w] + \frac{d}{d z} [c e^{w}]$ .

$w^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d z} [w] + \frac{d}{d z} [c e^{w}])$

Étape 3.3

Comme $w$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $w$ par rapport à $z$ est $0$ .

$w^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d z} [c e^{w}])$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d z} [c e^{w}]$ .

$w^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d z} [c e^{w}]$

Étape 3.5

Comme $e^{w}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $c e^{w}$ par rapport à $z$ est $e^{w} \frac{d}{d z} [c]$ .

$w^{\frac{3}{2}} (e^{w} \frac{d}{d z} [c])$

Étape 3.6

Réécrivez $\frac{d}{d z} [c]$ comme $c'$ .

$w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c')$

Étape 3.7

Réorganisez les facteurs de $w^{\frac{3}{2}} (e^{w} c')$ .

$e^{w} w^{\frac{3}{2}} c'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = e^{w} w^{\frac{3}{2}} c'$

Étape 5

Résolvez $c'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{w} w^{\frac{3}{2}} c' = 1$ .

$e^{w} w^{\frac{3}{2}} c' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $e^{w} w^{\frac{3}{2}} c' = 1$ par $e^{w} w^{\frac{3}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{w} w^{\frac{3}{2}} c' = 1$ par $e^{w} w^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{e^{w} w^{\frac{3}{2}} c'}{e^{w} w^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{e^{w} w^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{w} w^{\frac{3}{2}} c'}{e^{w} w^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{e^{w} w^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{w^{\frac{3}{2}} c'}{w^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{e^{w} w^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{w^{\frac{3}{2}} c'}{w^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{e^{w} w^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.4

Divisez $c'$ par $1$ .

$c' = \frac{1}{e^{w} w^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $c'$ par $\frac{d c}{d z}$ .

$\frac{d c}{d z} = \frac{1}{e^{w} w^{\frac{3}{2}}}$