Algèbre Exemples

$\frac{6}{x} - \frac{5}{y} = 2 x y$

Étape 1

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{6}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{5}{y} = 2 x y - \frac{6}{x}$

Étape 1.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, x$

Étape 1.2.2

Since $y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Étape 1.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.2.6

Le facteur pour $y^{1}$ est $y$ lui-même.

$y^{1} = y$

$y$ se produit $1$ fois.

Étape 1.2.7

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 1.2.8

Le plus petit multiple commun de $y^{1}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y \cdot x$

Étape 1.2.9

Multipliez $y$ par $x$ .

$y x$

Étape 1.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{5}{y} = 2 x y - \frac{6}{x}$ par $y x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{5}{y} = 2 x y - \frac{6}{x}$ par $y x$ .

$- \frac{5}{y} (y x) = 2 x y (y x) - \frac{6}{x} (y x)$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 5}{y} (y x) = 2 x y (y x) - \frac{6}{x} (y x)$

Étape 1.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$\frac{- 5}{y} (y (x)) = 2 x y (y x) - \frac{6}{x} (y x)$

Étape 1.3.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5}{y} (y x) = 2 x y (y x) - \frac{6}{x} (y x)$

Étape 1.3.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 5 x = 2 x y (y x) - \frac{6}{x} (y x)$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- 5 x = 2 (x \cdot x) y \cdot y - \frac{6}{x} (y x)$

Étape 1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 x = 2 x^{2} y \cdot y - \frac{6}{x} (y x)$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$- 5 x = 2 x^{2} (y \cdot y) - \frac{6}{x} (y x)$

Étape 1.3.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 5 x = 2 x^{2} y^{2} - \frac{6}{x} (y x)$

Étape 1.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.3.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6}{x}$ dans le numérateur.

$- 5 x = 2 x^{2} y^{2} + \frac{- 6}{x} (y x)$

Étape 1.3.3.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $y x$ .

$- 5 x = 2 x^{2} y^{2} + \frac{- 6}{x} (x y)$

Étape 1.3.3.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$- 5 x = 2 x^{2} y^{2} + \frac{- 6}{x} (x y)$

Étape 1.3.3.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 5 x = 2 x^{2} y^{2} - 6 y$

Étape 1.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2} y^{2} - 6 y = - 5 x$ .

$2 x^{2} y^{2} - 6 y = - 5 x$

Étape 1.4.2

Ajoutez $5 x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y^{2} - 6 y + 5 x = 0$

Étape 1.4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.4.4

Remplacez les valeurs $a = 2 x^{2}$ , $b = - 6$ et $c = 5 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (2 x^{2} \cdot (5 x))}}{2 (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5

Simplifiez

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Étape 1.4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (2 x^{2}) \cdot (5 x)}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 x^{2} x)}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 (x \cdot x^{2}))}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.5.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 (x \cdot x^{2}))}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 x^{1 + 2})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.4

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 1.4.5.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (5 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.4.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 40 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.5

Factorisez $4$ à partir de $36 - 40 x^{3}$ .

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Étape 1.4.5.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) - 40 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 40 x^{3}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (9) + 4 (- 10 x^{3})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.6

Réécrivez $4 (9 - 10 x^{3})$ comme $2^{2} (3^{2} - 10 x^{3})$ .

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Étape 1.4.5.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 - 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.6.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} - 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} - 10 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2^{2} x^{2}}$

Étape 1.4.5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{4 x^{2}}$

Étape 1.4.5.4

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{4 x^{2}}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 x^{2}}$

Étape 1.4.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.6.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (2 x^{2}) \cdot (5 x)}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 x^{2} x)}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.6.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 (x \cdot x^{2}))}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.6.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 (x \cdot x^{2}))}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 x^{1 + 2})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.4

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 1.4.6.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (5 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.4.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 40 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $36 - 40 x^{3}$ .

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Étape 1.4.6.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) - 40 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 40 x^{3}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (9) + 4 (- 10 x^{3})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.6

Réécrivez $4 (9 - 10 x^{3})$ comme $2^{2} (3^{2} - 10 x^{3})$ .

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Étape 1.4.6.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 - 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.6.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} - 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} - 10 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2^{2} x^{2}}$

Étape 1.4.6.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{4 x^{2}}$

Étape 1.4.6.4

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{4 x^{2}}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 x^{2}}$

Étape 1.4.6.5

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 x^{2}}$

Étape 1.4.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.7.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (2 x^{2}) \cdot (5 x)}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 x^{2} x)}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.7.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 (x \cdot x^{2}))}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.4.7.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 (x \cdot x^{2}))}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 x^{1 + 2})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (5 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.4

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 1.4.7.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (5 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.4.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 40 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.5

Factorisez $4$ à partir de $36 - 40 x^{3}$ .

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Étape 1.4.7.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) - 40 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 40 x^{3}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (9) + 4 (- 10 x^{3})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.6

Réécrivez $4 (9 - 10 x^{3})$ comme $2^{2} (3^{2} - 10 x^{3})$ .

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Étape 1.4.7.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 - 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.6.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} - 10 x^{3})}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} - 10 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 \cdot (2 x^{2})}$

Étape 1.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2^{2} x^{2}}$

Étape 1.4.7.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{4 x^{2}}$

Étape 1.4.7.4

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{4 x^{2}}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 x^{2}}$

Étape 1.4.7.5

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 x^{2}}$

Étape 1.4.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{3 + \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{3 - \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{3 + \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{3 - \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{3 + \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{3 - \sqrt{9 - 10 x^{3}}}{2 x^{2}}$

Étape 2

A linear equation is an equation of a straight line, which means that the degree of a linear equation must be $0$ or $1$ for each of its variables. In this case, the degree of the variable in the equation violates the linear equation definition, which means that the equation is not a linear equation.

Pas linéaire