Algèbre Exemples

$f (x) = 2 (x + 9) (x + 5)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 (x + 9) (x + 5)$ comme une équation.

$y = 2 (x + 9) (x + 5)$

Étape 2

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1

Complétez le carré pour $2 (x + 9) (x + 5)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + 2 \cdot 9) (x + 5)$

Étape 2.1.1.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$(2 x + 18) (x + 5)$

Étape 2.1.1.3

Développez $(2 x + 18) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (x + 5) + 18 (x + 5)$

Étape 2.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot 5 + 18 (x + 5)$

Étape 2.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot 5 + 18 x + 18 \cdot 5$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 5 + 18 x + 18 \cdot 5$

Étape 2.1.1.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 18 x + 18 \cdot 5$

Étape 2.1.1.4.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$2 x^{2} + 10 x + 18 x + 18 \cdot 5$

Étape 2.1.1.4.1.3

Multipliez $18$ par $5$ .

$2 x^{2} + 10 x + 18 x + 90$

Étape 2.1.1.4.2

Additionnez $10 x$ et $18 x$ .

$2 x^{2} + 28 x + 90$

Étape 2.1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = 28$

$c = 90$

Étape 2.1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{28}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun à $28$ et $2$ .

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Étape 2.1.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $28$ .

$d = \frac{2 \cdot 14}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 14}{2 (2)}$

Étape 2.1.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 14}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{14}{2}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun à $14$ et $2$ .

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Étape 2.1.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2}$

Étape 2.1.4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (1)}$

Étape 2.1.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{7}{1}$

Étape 2.1.4.2.2.2.4

Divisez $7$ par $1$ .

$d = 7$

Étape 2.1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 90 - \frac{28^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 2.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.5.2.1.1

Élevez $28$ à la puissance $2$ .

$e = 90 - \frac{784}{4 \cdot 2}$

Étape 2.1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 90 - \frac{784}{8}$

Étape 2.1.5.2.1.3

Divisez $784$ par $8$ .

$e = 90 - 1 \cdot 98$

Étape 2.1.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $98$ .

$e = 90 - 98$

Étape 2.1.5.2.2

Soustrayez $98$ de $90$ .

$e = - 8$

Étape 2.1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(x + 7)}^{2} - 8$ .

$2 {(x + 7)}^{2} - 8$

Étape 2.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = 2 {(x + 7)}^{2} - 8$

Étape 3

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 2$

$h = - 7$

$k = - 8$

Étape 4

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 5

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 7, - 8)$

Étape 6

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 6.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 6.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 6.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 7

Déterminez le foyer.

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Étape 7.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 7, - \frac{63}{8})$

Étape 8

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 7$

Étape 9