Algèbre Exemples

${(1 + 2 i)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(2 i)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(2 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(2 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(2 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(2 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez le résultat polynomial.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{4}$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$1^{1} \cdot {(1)}^{4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1^{1 + 4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.1.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$1^{5} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez $1^{5} \cdot {(2 i)}^{0}$ .

$1^{5} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

$1 + 4 \cdot (2 i) + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 8 i + 6 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.9

Multipliez $6$ par $1$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.10

Appliquez la règle de produit à $2 i$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot (2^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot (4 i^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.12

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot (4 \cdot - 1) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.13

Multipliez $6 (4 \cdot - 1)$ .

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Étape 4.1.13.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot - 4 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.13.2

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.14

Évaluez l’exposant.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.15

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.16

Appliquez la règle de produit à $2 i$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (2^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.17

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 i^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.18

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.19

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.20

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (- i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.21

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (- 8 i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.22

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.23

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.23.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ .

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Étape 4.1.23.1.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.23.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1 + 0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.23.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1} \cdot {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.24

Simplifiez $1^{1} \cdot {(2 i)}^{4}$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + {(2 i)}^{4}$

Étape 4.1.25

Appliquez la règle de produit à $2 i$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 2^{4} i^{4}$

Étape 4.1.26

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 i^{4}$

Étape 4.1.27

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 4.1.27.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Étape 4.1.27.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Étape 4.1.27.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 \cdot 1$

Étape 4.1.28

Multipliez $16$ par $1$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $24$ de $1$ .

$- 23 + 8 i - 32 i + 16$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 23$ et $16$ .

$- 7 + 8 i - 32 i$

Étape 4.2.3

Soustrayez $32 i$ de $8 i$ .

$- 7 - 24 i$