Algèbre Exemples

$H = 33 (10 \sqrt{v} - v + 10.45)$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{v'}$ comme ${v'}^{\frac{1}{2}}$ .

$H = 33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45)$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d H} (H) = \frac{d}{d H} (33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45))$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d H} [H^{n}]$ est $n H^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Comme $33$ est constant par rapport à $H$ , la dérivée de $33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45)$ par rapport à $H$ est $33 \frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45]$ .

$33 \frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45$ par rapport à $H$ est $\frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45]$ .

$33 (\frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.1.3

Comme $10$ est constant par rapport à $H$ , la dérivée de $10 {v'}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $H$ est $10 \frac{d}{d H} [{v'}^{\frac{1}{2}}]$ .

$33 (10 \frac{d}{d H} [{v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d H} [f (g (H))]$ est $f' (g (H)) g' (H)$ où $f (H) = H^{\frac{1}{2}}$ et $g (H) = v'$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v'$ .

$33 (10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v'$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{2}$ et ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ .

$33 (10 (\frac{{v'}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.9

Placez ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}}$ et $10$ .

$33 (\frac{10}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.11

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {v'}^{\frac{1}{2}}$ .

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.12.2

Annulez le facteur commun.

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.12.3

Réécrivez l’expression.

$33 (\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.13

Réécrivez $\frac{d}{d H} [v']$ comme $v''$ .

$33 (\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}} v'' + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.14

Associez $\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}}$ et $v''$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $H$ , la dérivée de $- v'$ par rapport à $H$ est $- \frac{d}{d H} [v']$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.16

Réécrivez $\frac{d}{d H} [v']$ comme $v''$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'' + \frac{d}{d H} [10.45])$

Étape 4.17

Comme $10.45$ est constant par rapport à $H$ , la dérivée de $10.45$ par rapport à $H$ est $0$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'' + 0)$

Étape 4.18

Additionnez $\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v''$ et $0$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'')$

Étape 4.19

Simplifiez

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Étape 4.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$33 \frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Étape 4.19.2

Associez des termes.

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Étape 4.19.2.1

Associez $33$ et $\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{33 (5 v'')}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Étape 4.19.2.2

Multipliez $5$ par $33$ .

$\frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Étape 4.19.2.3

Multipliez $- 1$ par $33$ .

$\frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - 33 v''$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - 33 v''$

Étape 6

Résolvez $v'$ .

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Placez ${v'}^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$1 = 165 v' {v'}^{- \frac{1}{2}} - 33 v'$

Étape 6.1.2

Multipliez $v'$ par ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1

Déplacez ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 = 165 ({v'}^{- \frac{1}{2}} v') - 33 v'$

Étape 6.1.2.2

Multipliez ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ par $v'$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Élevez $v'$ à la puissance $1$ .

$1 = 165 ({v'}^{- \frac{1}{2}} {v'}^{1}) - 33 v'$

Étape 6.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = 165 {v'}^{- \frac{1}{2} + 1} - 33 v'$

Étape 6.1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$1 = 165 {v'}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - 33 v'$

Étape 6.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 = 165 {v'}^{\frac{- 1 + 2}{2}} - 33 v'$

Étape 6.1.2.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$1 = 165 {v'}^{\frac{1}{2}} - 33 v'$

Étape 6.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$v' \approx 3.68202613 E - 5, 24.93935711$

Étape 7

Remplacez $v'$ par $\frac{d v}{d H}$ .

$v' = \frac{d v}{d H} \approx 3.68202613 E - 5, 24.93935711$