Algèbre Exemples

$y \sin (2 x) = x \cos (2 y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y \sin (2 x)) = \frac{d}{d x} (x \cos (2 y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = \sin (2 x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$y (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y \cos (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $y \cos (2 x)$ .

$2 \cdot (y \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y \cos (2 x) + \sin (2 x) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (2 y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$x (- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y) \cdot 1$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $\cos (2 y)$ par $1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y)$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y \cos (2 x) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 y (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Étape 5.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 y (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + 1 - 2 \sin^{2} (y)$

Étape 5.3

Soustrayez $2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.4

Ajoutez $2 x \sin (2 y) y'$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (2 x) y' + 2 x \sin (2 y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.1

Simplifiez $\sin (2 x) y' + 2 x \sin (2 y) y'$ .

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Étape 5.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 2 x \sin (2 y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.5.1.1.2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 2 x (2 \sin (y) \cos (y)) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.5.1.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 4 x \sin (y) \cos (y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.5.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 \sin (x) \cos (x) y' + 4 x \sin (y) \cos (y) y'$ .

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y \cdot 1 - 2 y (- 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y - 2 y (- 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y - 2 \cdot - 2 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.6.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.7.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.1.1

Simplifiez $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1.1.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $2 y'$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.1.1.1.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x) \cos (x)$ et $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.1.1.1.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.1.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.2.1

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.3

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.4.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.7.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.1.1

Simplifiez $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.1.1.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $2 y'$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.1.1.1.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x) \cos (x)$ et $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.1.1.1.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.1.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.5.2.1

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.3

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.4.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.7.5.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.1.1

Simplifiez $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.1.1.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $2 y'$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.1.1.1.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x) \cos (x)$ et $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.1.1.1.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.1.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.2.1

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.3

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.4.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5

Résolvez l’équation pour $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.1.1

Simplifiez $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.1.1.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $2 y'$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.1.1.1.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x) \cos (x)$ et $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.1.1.1.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.1.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.2.1

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.3

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.4.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.5

Résolvez l’équation pour $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.5.1.1

Simplifiez $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.5.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.5.1.1.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.5.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $2 y'$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.5.1.1.1.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x) \cos (x)$ et $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.5.1.1.1.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.5.1.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.5.5.5.5.2.1

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

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Étape 5.7.5.5.5.5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' \sin (2 x)$ .

$y' (\sin (2 x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' (\sin (2 x)) + y' (4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (\sin (2 x)) + y' (4 x \sin (y) \cos (y))$ .

$y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Étape 5.7.5.5.5.5.4

Divisez chaque terme dans $y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$ par $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.7.5.5.5.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$ par $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y))}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{- 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Étape 5.7.5.5.5.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.5.5.5.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ .

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Étape 5.7.5.5.5.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.7.5.5.5.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{- 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Étape 5.7.5.5.5.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.5.5.5.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} - \frac{2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Étape 5.7.5.5.5.5.4.3.2

Associez en une fraction.

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Étape 5.7.5.5.5.5.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{\cos (2 y) - 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Étape 5.7.5.5.5.5.4.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{\cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$