Algèbre Exemples

$g (x) = \frac{2}{3} x (x + 8)$

Étape 1

Écrivez $g (x) = \frac{2}{3} x (x + 8)$ comme une équation.

$y = \frac{2}{3} x (x + 8)$

Étape 2

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x (x + 8))$

Étape 2.1.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x (x + 8))$

Étape 2.1.3

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot (x (x + 8))$ .

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x \cdot x + x \cdot 8)$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x^{2} + x \cdot 8)$

Étape 2.1.3.2.2

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x^{2} + 8 \cdot x)$

Étape 2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{3} x^{2} + \frac{2}{3} (8 x)$

Étape 2.1.3.4

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2}{3} (8 x)$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $\frac{2}{3} (8 x)$ .

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Étape 2.1.3.5.1

Associez $8$ et $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{8 \cdot 2}{3} x$

Étape 2.1.3.5.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{16}{3} x$

Étape 2.1.3.5.3

Associez $\frac{16}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{16 x}{3}$

Étape 2.2

Complétez le carré pour $\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{16 x}{3}$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{2}{3}$

$b = \frac{16}{3}$

$c = 0$

Étape 2.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{16}{3}}{2 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$d = \frac{2 (8)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 8}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{1}{\frac{2}{3}}$ .

$d = \frac{8}{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.3.2.4

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$d = \frac{8}{\frac{3 \cdot 2}{3}}$

Étape 2.2.3.2.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$d = \frac{8}{\frac{6}{3}}$

Étape 2.2.3.2.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.2.3.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$d = \frac{8}{\frac{3 \cdot 2}{3}}$

Étape 2.2.3.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$d = \frac{8}{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}$

Étape 2.2.3.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{8}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}$

Étape 2.2.3.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{8}{\frac{2}{1}}$

Étape 2.2.3.2.6.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = \frac{8}{2}$

Étape 2.2.3.2.7

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.2.3.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2}$

Étape 2.2.3.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Étape 2.2.3.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.3.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{1}$

Étape 2.2.3.2.7.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 2.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{16}{3})}^{2}}{4 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{16}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.4.2.1.1.2

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{256}{3^{2}}}{4 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.4.2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{256}{9}}{4 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{256}{9}}{\frac{4 \cdot 2}{3}}$

Étape 2.2.4.2.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{256}{9}}{\frac{8}{3}}$

Étape 2.2.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{256}{9} \cdot \frac{3}{8})$

Étape 2.2.4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.2.4.2.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $256$ .

$e = 0 - (\frac{8 (32)}{9} \cdot \frac{3}{8})$

Étape 2.2.4.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - (\frac{8 \cdot 32}{9} \cdot \frac{3}{8})$

Étape 2.2.4.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - (\frac{32}{9} \cdot 3)$

Étape 2.2.4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.4.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$e = 0 - (\frac{32}{3 (3)} \cdot 3)$

Étape 2.2.4.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - (\frac{32}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Étape 2.2.4.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{32}{3}$

Étape 2.2.4.2.2

Soustrayez $\frac{32}{3}$ de $0$ .

$e = - \frac{32}{3}$

Étape 2.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{2}{3} {(x + 4)}^{2} - \frac{32}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x + 4)}^{2} - \frac{32}{3}$

Étape 2.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{2}{3} \cdot {(x + 4)}^{2} - \frac{32}{3}$

Étape 3

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{2}{3}$

$h = - 4$

$k = - \frac{32}{3}$

Étape 4

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 5

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 4, - \frac{32}{3})$

Étape 6

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 6.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 6.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{2}{3}}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Associez $4$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{3}}$

Étape 6.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{\frac{8}{3}}$

Étape 6.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{3}{8})$

Étape 6.3.4

Multipliez $\frac{3}{8}$ par $1$ .

$\frac{3}{8}$

Étape 7

Déterminez le foyer.

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Étape 7.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 4, - \frac{247}{24})$

Étape 8

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 4$

Étape 9