Algèbre Exemples

$f (x) = - x^{2} (x - 3) (x + 4)$

Étape 1

Déterminez si la fonction est impaire, paire ou ni l’un ni l’autre pour déterminer la symétrie.

1. S’il est impair, la fonction est symétrique par rapport à l’origine.

2. S’il est pair, la fonction est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (- x^{2} x - x^{2} \cdot - 3) (x + 4)$

Étape 2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = (- (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 3) (x + 4)$

Étape 2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = (- (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 3) (x + 4)$

Étape 2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = (- x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 3) (x + 4)$

Étape 2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x) = (- x^{3} - x^{2} \cdot - 3) (x + 4)$

Étape 2.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (x) = (- x^{3} + 3 x^{2}) (x + 4)$

Étape 2.4

Développez $(- x^{3} + 3 x^{2}) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - x^{3} (x + 4) + 3 x^{2} (x + 4)$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - x^{3} x - x^{3} \cdot 4 + 3 x^{2} (x + 4)$

Étape 2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - x^{3} x - x^{3} \cdot 4 + 3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4$

Étape 2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = - (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot 4 + 3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4$

Étape 2.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 2.5.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = - (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot 4 + 3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4$

Étape 2.5.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = - x^{1 + 3} - x^{3} \cdot 4 + 3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4$

Étape 2.5.1.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (x) = - x^{4} - x^{3} \cdot 4 + 3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (x) = - x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = - x^{4} - 4 x^{3} + 3 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 4$

Étape 2.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.5.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = - x^{4} - 4 x^{3} + 3 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 4$

Étape 2.5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = - x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 4$

Étape 2.5.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x) = - x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4$

Étape 2.5.1.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (x) = - x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 2.5.2

Additionnez $- 4 x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$f (x) = - x^{4} - x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 3

Déterminez $f (- x)$ .

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Étape 3.1

Déterminez $f (- x)$ en remplaçant $- x$ pour toutes les occurrences de $x$ dans $f (x)$ .

$f (- x) = - {(- x)}^{4} - {(- x)}^{3} + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - ({(- 1)}^{4} x^{4}) - {(- x)}^{3} + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 x^{4}) - {(- x)}^{3} + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{4}$ par $- 1$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) x^{4}) - {(- x)}^{3} + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- x) = {(- 1)}^{4 + 1} x^{4} - {(- x)}^{3} + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{5} x^{4} - {(- x)}^{3} + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- x) = - x^{4} - {(- x)}^{3} + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - x^{4} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.5.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- x) = - x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.5.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 3.2.5.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- x) = - x^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- x) = - x^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.5.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (- x) = - x^{4} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.6

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = - x^{4} + 1 x^{3} + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.7

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$f (- x) = - x^{4} + x^{3} + 12 {(- x)}^{2}$

Étape 3.2.8

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - x^{4} + x^{3} + 12 ({(- 1)}^{2} x^{2})$

Étape 3.2.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = - x^{4} + x^{3} + 12 (1 x^{2})$

Étape 3.2.10

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = - x^{4} + x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 4

Une fonction est paire si $f (- x) = f (x)$ .

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Étape 4.1

Vérifiez si $f (- x) = f (x)$ .

Étape 4.2

Comme $- x^{4} + x^{3} + 12 x^{2}$ $\neq$ $- x^{4} - x^{3} + 12 x^{2}$ , la fonction n’est pas paire.

La fonction n’est pas paire

Étape 5

Une fonction est impaire si $f (- x) = - f (x)$ .

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Étape 5.1

Déterminez $- f (x)$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $- x^{4} - x^{3} + 12 x^{2}$ par $- 1$ .

$- f (x) = - (- x^{4} - x^{3} + 12 x^{2})$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- f (x) = x^{4} + x^{3} - (12 x^{2})$

Étape 5.1.3

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$- f (x) = x^{4} + x^{3} - 12 x^{2}$

Étape 5.2

Comme $- x^{4} + x^{3} + 12 x^{2}$ $\neq$ $x^{4} + x^{3} - 12 x^{2}$ , la fonction n’est pas impaire.

La fonction n’est pas impaire

Étape 6

La fonction n’est ni paire ni impaire

Étape 7

Comme la fonction n’est pas impaire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’origine.

Aucune symétrie par rapport à l’origine

Étape 8

Comme la fonction n’est pas paire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Aucune symétrie par rapport à l’ordonnée

Étape 9

Comme la fonction n’est ni impaire ni paire, il n’y a pas de symétrique par rapport à l’origine ni par rapport à l’ordonnée.

La fonction n’est pas symétrique

Étape 10