Algèbre Exemples

$\frac{\cot (t)}{\sec (t)} + \sin (t) = \csc (t)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cot (t)}{\sec (t)} + \sin (t)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cot (t)}{\frac{1}{\cos (t)}} + \sin (t)$

Étape 2.2

Réécrivez $\cot (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (t)}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}} + \sin (t)$

Étape 2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cos (t) + \sin (t)$

Étape 2.4

Écrivez $\cos (t)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1} + \sin (t)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Divisez $\cos (t)$ par $1$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cos (t) + \sin (t)$

Étape 2.5.2

Associez $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ et $\cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 2.6.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 2.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 2.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - \sin^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (t)}^{2}}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (t)$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \sin (t)$

Étape 4.2

Pour écrire $\sin (t)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\sin (t)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\sin (t)}$ comme $\csc (t)$ .

$\csc (t)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cot (t)}{\sec (t)} + \sin (t) = \csc (t)$ est une identité