Algèbre Exemples

$x y^{4} - y = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x y^{4} - y) = \frac{d}{d y} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{4} - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y^{4}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{4}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y^{4}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x (4 y^{3}) + y^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x (4 y^{3}) + y^{4} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$4 x y^{3} + y^{4} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 x y^{3} + y^{4} x' - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x y^{3} + y^{4} x' - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 x y^{3} + y^{4} x' - 1$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 y^{3} x + y^{4} x' - 1$

Étape 3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 y^{3} x + y^{4} x' - 1 = x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $x'$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{3} x + y^{4} x' - 1 - x' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $4 y^{3} x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{4} x' - 1 - x' = - 4 y^{3} x$

Étape 5.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{4} x' - x' = - 4 y^{3} x + 1$

Étape 5.3

Factorisez $x'$ à partir de $y^{4} x' - x'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x'$ à partir de $y^{4} x'$ .

$x' y^{4} - x' = - 4 y^{3} x + 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $x'$ à partir de $- x'$ .

$x' y^{4} + x' \cdot - 1 = - 4 y^{3} x + 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' y^{4} + x' \cdot - 1$ .

$x' (y^{4} - 1) = - 4 y^{3} x + 1$

Étape 5.4

Réécrivez $y^{4}$ comme ${(y^{2})}^{2}$ .

$x' ({(y^{2})}^{2} - 1) = - 4 y^{3} x + 1$

Étape 5.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x' ({(y^{2})}^{2} - 1^{2}) = - 4 y^{3} x + 1$

Étape 5.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y^{2}$ et $b = 1$ .

$x' ((y^{2} + 1) (y^{2} - 1)) = - 4 y^{3} x + 1$

Étape 5.7

Factorisez.

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Étape 5.7.1

Simplifiez

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Étape 5.7.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x' ((y^{2} + 1) (y^{2} - 1^{2})) = - 4 y^{3} x + 1$

Étape 5.7.1.2

Factorisez.

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Étape 5.7.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$x' ((y^{2} + 1) ((y + 1) (y - 1))) = - 4 y^{3} x + 1$

Étape 5.7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x' ((y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)) = - 4 y^{3} x + 1$

Étape 5.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x' (y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1) = - 4 y^{3} x + 1$

Étape 5.8

Divisez chaque terme dans $x' (y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1) = - 4 y^{3} x + 1$ par $(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.8.1

Divisez chaque terme dans $x' (y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1) = - 4 y^{3} x + 1$ par $(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{x' (y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

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Étape 5.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.8.2.2

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 5.8.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.8.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.8.2.3

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 5.8.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.8.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{4 y^{3} x}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)} + \frac{1}{(y^{2} + 1) (y + 1) (y - 1)}$