Algèbre Exemples

$x^{2} {(x - 4)}^{3} (x + 5)$

Étape 1

Écrivez $x^{2} {(x - 4)}^{3} (x + 5)$ comme une équation.

$y = x^{2} {(x - 4)}^{3} (x + 5)$

Étape 2

Il y a trois types de symétries :

1. Symétrie par rapport à l’abscisse

2. Symétrie par rapport à l’ordonnée

3. Symétrie par rapport à l’origine

Étape 3

Si $(x, y)$ existe sur le graphe, le graphe est symétrique par rapport à :

1. Abscisse si $(x, - y)$ existe sur le graphe

2. Ordonnée si $(- x, y)$ existe sur le graphe

3. Origine si $(- x, - y)$ existe sur le graphe

Étape 4

Utilisez le théorème du binôme.

$y = x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) (x + 5)$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = x^{2} (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}) (x + 5)$

Étape 5.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = x^{2} (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}) (x + 5)$

Étape 5.3

Multipliez $16$ par $3$ .

$y = x^{2} (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}) (x + 5)$

Étape 5.4

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$y = x^{2} (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) (x + 5)$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x^{2} x^{3} + x^{2} (- 12 x^{2}) + x^{2} (48 x) + x^{2} \cdot - 64) (x + 5)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = (x^{2 + 3} + x^{2} (- 12 x^{2}) + x^{2} (48 x) + x^{2} \cdot - 64) (x + 5)$

Étape 7.1.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$y = (x^{5} + x^{2} (- 12 x^{2}) + x^{2} (48 x) + x^{2} \cdot - 64) (x + 5)$

Étape 7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = (x^{5} - 12 x^{2} x^{2} + x^{2} (48 x) + x^{2} \cdot - 64) (x + 5)$

Étape 7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = (x^{5} - 12 x^{2} x^{2} + 48 x^{2} x + x^{2} \cdot - 64) (x + 5)$

Étape 7.4

Déplacez $- 64$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = (x^{5} - 12 x^{2} x^{2} + 48 x^{2} x - 64 \cdot x^{2}) (x + 5)$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = (x^{5} - 12 (x^{2} x^{2}) + 48 x^{2} x - 64 \cdot x^{2}) (x + 5)$

Étape 8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = (x^{5} - 12 x^{2 + 2} + 48 x^{2} x - 64 \cdot x^{2}) (x + 5)$

Étape 8.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = (x^{5} - 12 x^{4} + 48 x^{2} x - 64 \cdot x^{2}) (x + 5)$

Étape 8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1

Déplacez $x$ .

$y = (x^{5} - 12 x^{4} + 48 (x \cdot x^{2}) - 64 \cdot x^{2}) (x + 5)$

Étape 8.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = (x^{5} - 12 x^{4} + 48 (x^{1} x^{2}) - 64 \cdot x^{2}) (x + 5)$

Étape 8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = (x^{5} - 12 x^{4} + 48 x^{1 + 2} - 64 \cdot x^{2}) (x + 5)$

Étape 8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = (x^{5} - 12 x^{4} + 48 x^{3} - 64 \cdot x^{2}) (x + 5)$

$y = (x^{5} - 12 x^{4} + 48 x^{3} - 64 x^{2}) (x + 5)$

Étape 9

Développez $(x^{5} - 12 x^{4} + 48 x^{3} - 64 x^{2}) (x + 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = x^{5} x + x^{5} \cdot 5 - 12 x^{4} x - 12 x^{4} \cdot 5 + 48 x^{3} x + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ .

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Étape 10.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{5} x^{1} + x^{5} \cdot 5 - 12 x^{4} x - 12 x^{4} \cdot 5 + 48 x^{3} x + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{5 + 1} + x^{5} \cdot 5 - 12 x^{4} x - 12 x^{4} \cdot 5 + 48 x^{3} x + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.1.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$y = x^{6} + x^{5} \cdot 5 - 12 x^{4} x - 12 x^{4} \cdot 5 + 48 x^{3} x + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{5}$ .

$y = x^{6} + 5 \cdot x^{5} - 12 x^{4} x - 12 x^{4} \cdot 5 + 48 x^{3} x + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.3

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 (x \cdot x^{4}) - 12 x^{4} \cdot 5 + 48 x^{3} x + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.3.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 10.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 (x^{1} x^{4}) - 12 x^{4} \cdot 5 + 48 x^{3} x + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{1 + 4} - 12 x^{4} \cdot 5 + 48 x^{3} x + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.3.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 12 x^{4} \cdot 5 + 48 x^{3} x + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.4

Multipliez $5$ par $- 12$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 60 x^{4} + 48 x^{3} x + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.5

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.5.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 60 x^{4} + 48 (x \cdot x^{3}) + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.5.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 10.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 60 x^{4} + 48 (x^{1} x^{3}) + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 60 x^{4} + 48 x^{1 + 3} + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.5.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 60 x^{4} + 48 x^{4} + 48 x^{3} \cdot 5 - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.6

Multipliez $5$ par $48$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 60 x^{4} + 48 x^{4} + 240 x^{3} - 64 x^{2} x - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.7.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 60 x^{4} + 48 x^{4} + 240 x^{3} - 64 (x \cdot x^{2}) - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 10.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 60 x^{4} + 48 x^{4} + 240 x^{3} - 64 (x^{1} x^{2}) - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 60 x^{4} + 48 x^{4} + 240 x^{3} - 64 x^{1 + 2} - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 60 x^{4} + 48 x^{4} + 240 x^{3} - 64 x^{3} - 64 x^{2} \cdot 5$

Étape 10.8

Multipliez $5$ par $- 64$ .

$y = x^{6} + 5 x^{5} - 12 x^{5} - 60 x^{4} + 48 x^{4} + 240 x^{3} - 64 x^{3} - 320 x^{2}$

Étape 11

Soustrayez $12 x^{5}$ de $5 x^{5}$ .

$y = x^{6} - 7 x^{5} - 60 x^{4} + 48 x^{4} + 240 x^{3} - 64 x^{3} - 320 x^{2}$

Étape 12

Additionnez $- 60 x^{4}$ et $48 x^{4}$ .

$y = x^{6} - 7 x^{5} - 12 x^{4} + 240 x^{3} - 64 x^{3} - 320 x^{2}$

Étape 13

Soustrayez $64 x^{3}$ de $240 x^{3}$ .

$y = x^{6} - 7 x^{5} - 12 x^{4} + 176 x^{3} - 320 x^{2}$

Étape 14

Check if the graph is symmetric about the $x$ -axis by plugging in $- y$ for $y$ .

$- y = x^{6} - 7 x^{5} - 12 x^{4} + 176 x^{3} - 320 x^{2}$

Étape 15

Comme l’équation n’est pas identique à l’équation d’origine, elle n’est pas symétrique par rapport à l’abscisse.

Pas symétrique par rapport à l’abscisse

Étape 16

Check if the graph is symmetric about the $y$ -axis by plugging in $- x$ for $x$ .

$y = {(- x)}^{6} - 7 {(- x)}^{5} - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y = {(- 1)}^{6} x^{6} - 7 {(- x)}^{5} - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.2

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$y = 1 x^{6} - 7 {(- x)}^{5} - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.3

Multipliez $x^{6}$ par $1$ .

$y = x^{6} - 7 {(- x)}^{5} - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y = x^{6} - 7 ({(- 1)}^{5} x^{5}) - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.5

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$y = x^{6} - 7 (- x^{5}) - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.6

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.8

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 (1 x^{4}) + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.9

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.10

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} + 176 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.11

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} + 176 (- x^{3}) - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.12

Multipliez $- 1$ par $176$ .

$y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} - 176 x^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 17.13

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} - 176 x^{3} - 320 ({(- 1)}^{2} x^{2})$

Étape 17.14

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} - 176 x^{3} - 320 (1 x^{2})$

Étape 17.15

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} - 176 x^{3} - 320 x^{2}$

Étape 18

Comme l’équation n’est pas identique à l’équation d’origine, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Pas symétrique par rapport à l’ordonnée

Étape 19

Vérifiez si le graphe est symétrique par rapport à l’origine en insérant $- x$ pour $x$ et $- y$ pour $y$ .

$- y = {(- x)}^{6} - 7 {(- x)}^{5} - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$- y = {(- 1)}^{6} x^{6} - 7 {(- x)}^{5} - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.2

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$- y = 1 x^{6} - 7 {(- x)}^{5} - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.3

Multipliez $x^{6}$ par $1$ .

$- y = x^{6} - 7 {(- x)}^{5} - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$- y = x^{6} - 7 ({(- 1)}^{5} x^{5}) - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.5

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$- y = x^{6} - 7 (- x^{5}) - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.6

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$- y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 {(- x)}^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$- y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.8

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 (1 x^{4}) + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.9

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$- y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} + 176 {(- x)}^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.10

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$- y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} + 176 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.11

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} + 176 (- x^{3}) - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.12

Multipliez $- 1$ par $176$ .

$- y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} - 176 x^{3} - 320 {(- x)}^{2}$

Étape 20.13

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$- y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} - 176 x^{3} - 320 ({(- 1)}^{2} x^{2})$

Étape 20.14

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} - 176 x^{3} - 320 (1 x^{2})$

Étape 20.15

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- y = x^{6} + 7 x^{5} - 12 x^{4} - 176 x^{3} - 320 x^{2}$

Étape 21

Comme l’équation n’est pas identique à l’équation d’origine, elle n’est pas symétrique par rapport à l’origine.

Pas symétrique par rapport à l’origine

Étape 22

Déterminez la symétrie.

Pas symétrique par rapport à l’abscisse

Pas symétrique par rapport à l’ordonnée

Pas symétrique par rapport à l’origine

Étape 23