Algèbre Exemples

$f (x) = x^{9} e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{9}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$

Étape 1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$ .

$f' (x) = x^{9} e^{x} + 9 x^{8} e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{9} e^{x} + 9 x^{8} e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{9} e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{9} e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{9} e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{9}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{8} e^{x}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 \frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} e^{x}) + 9 (e^{x} (8 x^{7}))$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $8$ par $9$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 x^{8} e^{x} + 72 (e^{x} (x^{7}))$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $e^{x} (9 x^{8})$ et $9 x^{8} e^{x}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + 9 x^{8} e^{x} + 9 x^{8} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

Étape 2.4.2.2.2

Additionnez $9 x^{8} e^{x}$ et $9 x^{8} e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{9} + 18 e^{x} x^{8} + 72 e^{x} x^{7}$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{9} + 18 e^{x} x^{8} + 72 e^{x} x^{7}$ .

$f'' (x) = x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$