Algèbre Exemples

$\frac{x^{2}}{x + y} = y^{2} + 6$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (\frac{x^{2}}{x + y}) = \frac{d}{d y} (y^{2} + 6)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = x^{2}$ et $g (y) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + y) (2 u \frac{d}{d y} [x]) - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\frac{(x + y) (2 x \frac{d}{d y} [x]) - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x + y$ .

$\frac{2 \cdot (x + y) x \frac{d}{d y} [x] - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.6

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} (x' + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + y) x x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 y) x x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x \cdot x + 2 y x) x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x x' + 2 y x x' - x^{2} (x' + 1)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2} \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2} \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2} \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2} x' - x^{2}}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.5.2

Soustrayez $x^{2} x'$ de $2 x^{2} x'$ .

$\frac{1 x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2}}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} x' + 2 y x x' - x^{2}}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + x^{2} x' + 2 x y x'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.7

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} + x^{2} x' + 2 x y x'$ .

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Étape 2.8.7.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + x^{2} x' + 2 x y x'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.7.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} x'$ .

$\frac{x (- x) + x (x x') + 2 x y x'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.7.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x y x'$ .

$\frac{x (- x) + x (x x') + x (2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.7.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x (x x')$ .

$\frac{x (- x + x x') + x (2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.7.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- x + x x') + x (2 y x')$ .

$\frac{x (- x + x x' + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + x x' + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.9

Factorisez $- 1$ à partir de $x x'$ .

$\frac{x (- (x) - (- x x') + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (- x x')$ .

$\frac{x (- (x - x x') + 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.11

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y x'$ .

$\frac{x (- (x - x x') - (- 2 y x'))}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x - x x') - (- 2 y x')$ .

$\frac{x (- (x - x x' - 2 y x'))}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.13

Réécrivez $- (x - x x' - 2 y x')$ comme $- 1 (x - x x' - 2 y x')$ .

$\frac{x (- 1 (x - x x' - 2 y x'))}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.8.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 6$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [6]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [6]$

Étape 3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 y + 0$

Étape 3.4

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 y}{- 1}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 y}{- 1}$

Étape 5.1.2.2

Divisez $\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = \frac{2 y}{- 1}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 y}{- 1}$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 y)$

Étape 5.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 y)$ comme $- (2 y)$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = - (2 y)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} = - 2 y$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Simplifiez $\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - x x' - 2 y x')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x (x - x x' - 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (- x x') + x (- 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x (- x x') + x (- 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - x (x x') + x (- 2 y x') = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - x (x x') - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} - (x \cdot x) x' - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - x^{2} x' - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.5

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} - x' x^{2} - 2 x y x' = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.6

Déplacez $y$ .

$x^{2} - x' x^{2} - 2 x x' y = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.7

Déplacez $x$ .

$x^{2} - x' x^{2} - 2 x' x y = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.8

Déplacez $x^{2}$ .

$- x' x^{2} - 2 x' x y + x^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.9

Remettez dans l’ordre $- x' x^{2}$ et $- 2 x' x y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.4

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- 2 y {(x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1

Réécrivez.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = 0 + 0 - 2 y {(x + y)}^{2}$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y ((x + y) (x + y))$

Étape 5.4.1.3

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x (x + y) + y (x + y))$

Étape 5.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x \cdot x + x y + y (x + y))$

Étape 5.4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

Étape 5.4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

Étape 5.4.1.4.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + x y + y x + y^{2})$

Étape 5.4.1.4.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 5.4.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + x y + x y + y^{2})$

Étape 5.4.1.4.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Étape 5.4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y (2 x y) - 2 y \cdot y^{2}$

Étape 5.4.1.6

Simplifiez

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Étape 5.4.1.6.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.6.1.1

Déplacez $y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 (y \cdot y) (2 x) - 2 y \cdot y^{2}$

Étape 5.4.1.6.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 y \cdot y^{2}$

Étape 5.4.1.6.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.6.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 (y^{2} y)$

Étape 5.4.1.6.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.4.1.6.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 (y^{2} y^{1})$

Étape 5.4.1.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 y^{2 + 1}$

Étape 5.4.1.6.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 y^{2} (2 x) - 2 y^{3}$

Étape 5.4.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 2 \cdot 2 y^{2} x - 2 y^{3}$

Étape 5.4.1.7.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 2 x' x y - x' x^{2} + x^{2} = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x' x y - x' x^{2} = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Étape 5.4.3

Factorisez $x' x$ à partir de $- 2 x' x y - x' x^{2}$ .

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Étape 5.4.3.1

Factorisez $x' x$ à partir de $- 2 x' x y$ .

$x' x (- 2 y) - x' x^{2} = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $x' x$ à partir de $- x' x^{2}$ .

$x' x (- 2 y) + x' x (- 1 x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Étape 5.4.3.3

Factorisez $x' x$ à partir de $x' x (- 2 y) + x' x (- 1 x)$ .

$x' x (- 2 y - 1 x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Étape 5.4.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x' x (- 2 y - x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$

Étape 5.4.5

Divisez chaque terme dans $x' x (- 2 y - x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$ par $x (- 2 y - x)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.5.1

Divisez chaque terme dans $x' x (- 2 y - x) = - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3} - x^{2}$ par $x (- 2 y - x)$ .

$\frac{x' x (- 2 y - x)}{x (- 2 y - x)} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' x (- 2 y - x)}{x (- 2 y - x)} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (- 2 y - x)}{- 2 y - x} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.2.2

Annulez le facteur commun de $- 2 y - x$ .

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Étape 5.4.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (- 2 y - x)}{- 2 y - x} = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 2 y x^{2}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.4.5.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 y x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- 2 y x)}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.5.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{x (- 2 y x)}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{- 2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.5.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2} x}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} + \frac{- 4 y^{2}}{- 2 y - x} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} + \frac{- 2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.1.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.4.5.3.1.6.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{x (- x)}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.5.3.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{x (- x)}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{2 y x}{- 2 y - x} - \frac{4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- 2 y x - 4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.5.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.5.3.3.1.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 y x - 4 y^{2}$ .

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Étape 5.4.5.3.3.1.1.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 y x$ .

$x' = \frac{2 y (- 1 x) - 4 y^{2}}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.3.1.1.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$x' = \frac{2 y (- 1 x) + 2 y (- 2 y)}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.3.1.1.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (- 1 x) + 2 y (- 2 y)$ .

$x' = \frac{2 y (- 1 x - 2 y)}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x' = \frac{2 y (- x - 2 y)}{- 2 y - x} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.3.2

Annulez le facteur commun à $- x - 2 y$ et $- 2 y - x$ .

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Étape 5.4.5.3.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x' = \frac{2 y (- x - 2 y)}{- x - 2 y} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 y (- x - 2 y)}{- x - 2 y} - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.3.2.3

Divisez $2 y$ par $1$ .

$x' = 2 y - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.4

Pour écrire $2 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 2 y - x}{- 2 y - x}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 y (- 2 y - x)}{- 2 y - x} - \frac{x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 y (- 2 y - x) - x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.5.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 y (- 2 y) + 2 y (- x) - x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 y \cdot y + 2 y (- x) - x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 y \cdot y + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.5.3.6.4.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.5.3.6.4.1.1

Déplacez $y$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 (y \cdot y) + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.6.4.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{2 \cdot - 2 y^{2} + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.6.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} + 2 \cdot - 1 y x - x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.6.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x}$

Étape 5.4.5.3.7

Pour écrire $\frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 5.4.5.3.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (- 2 y - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.5.3.8.1

Multipliez $\frac{- 4 y^{2} - 2 y x - x}{- 2 y - x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{(- 4 y^{2} - 2 y x - x) x}{(- 2 y - x) x}$

Étape 5.4.5.3.8.2

Réorganisez les facteurs de $(- 2 y - x) x$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x (- 2 y - x)} + \frac{(- 4 y^{2} - 2 y x - x) x}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- 2 y^{3} + (- 4 y^{2} - 2 y x - x) x}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.5.3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x \cdot x - x \cdot x}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.10.2

Simplifiez

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Étape 5.4.5.3.10.2.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.5.3.10.2.1.1

Déplacez $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y (x \cdot x) - x \cdot x}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.10.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - x \cdot x}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.10.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.5.3.10.2.2.1

Déplacez $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - (x \cdot x)}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.10.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x' = \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.11

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.5.3.11.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y^{3}$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3}) - 4 y^{2} x - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.11.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 y^{2} x$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3}) - (4 y^{2} x) - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.11.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y^{3}) - (4 y^{2} x)$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x) - 2 y x^{2} - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y x^{2}$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x) - (2 y x^{2}) - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y^{3} + 4 y^{2} x) - (2 y x^{2})$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2}) - x^{2}}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2}) - (x^{2})}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.11.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2}) - (x^{2})$ .

$x' = \frac{- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.11.8

Réécrivez $- (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})$ comme $- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})$ .

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 2 y - x)}$

Étape 5.4.5.3.11.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- (2 y) - x)}$

Étape 5.4.5.3.11.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- (2 y) - (x))}$

Étape 5.4.5.3.11.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y) - (x)$ .

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- (2 y + x))}$

Étape 5.4.5.3.11.12

Réécrivez $- (2 y + x)$ comme $- 1 (2 y + x)$ .

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 1 (2 y + x))}$

Étape 5.4.5.3.11.13

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{- 1 (2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2})}{x (- 1 (2 y + x))}$

Étape 5.4.5.3.11.14

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2}}{x (2 y + x)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 y^{3} + 4 y^{2} x + 2 y x^{2} + x^{2}}{x (2 y + x)}$