Algèbre Exemples

$y = \frac{3}{2} x^{2} - 6 x + 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{2} - 6 x + 5$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 x + 5$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{3}{2}$

$b = - 6$

$c = 5$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - 3 (\frac{2}{3})$

Étape 1.2.3.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$d = 3 (- 1) \frac{2}{3}$

Étape 1.2.3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$d = 3 \cdot - 1 \frac{2}{3}$

Étape 1.2.3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 1.2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = 5 - \frac{36}{4 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{3}{2}$ .

$e = 5 - \frac{36}{\frac{4 \cdot 3}{2}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$e = 5 - \frac{36}{\frac{12}{2}}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Divisez $12$ par $2$ .

$e = 5 - \frac{36}{6}$

Étape 1.2.4.2.1.5

Divisez $36$ par $6$ .

$e = 5 - 1 \cdot 6$

Étape 1.2.4.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$e = 5 - 6$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $6$ de $5$ .

$e = - 1$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} - 1$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} - 1$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{3}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} - 1$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{3}{2}$

$h = 2$

$k = - 1$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, - 1)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{3}{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $4$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 3}{2}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{\frac{12}{2}}$

Étape 5.3.2.2

Divisez $12$ par $2$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, - \frac{5}{6})$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 2$

Étape 8