Algèbre Exemples

$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} = \frac{4}{9}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{4}{9}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 2

Simplifiez $x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} - \frac{4}{9}$ .

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{4}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $144$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{9}{9}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{16 \cdot 9} - \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $16$ par $9$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{144} - \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{144} - \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16} = 0$

Étape 2.4.4

Multipliez $9$ par $16$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9}{144} - \frac{4 \cdot 16}{144} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9 - 4 \cdot 16}{144} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{9 - 64}{144} = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $64$ de $9$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{- 55}{144} = 0$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} + \frac{x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 3

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 4

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 2 + x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \cdot 2 + x$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x (x \cdot 2) + x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 6.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x \cdot 2) + x}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x (x \cdot 2) + x \cdot 1}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 6.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (x \cdot 2) + x \cdot 1$ .

$\frac{x (x \cdot 2 + 1)}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x (2 x + 1)}{2} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 7

Pour écrire $\frac{x (2 x + 1)}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{72}{72}$ .

$\frac{x (2 x + 1)}{2} \cdot \frac{72}{72} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $144$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{x (2 x + 1)}{2}$ par $\frac{72}{72}$ .

$\frac{x (2 x + 1) \cdot 72}{2 \cdot 72} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $72$ .

$\frac{x (2 x + 1) \cdot 72}{144} - \frac{55}{144} = 0$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (2 x + 1) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x (2 x) + x \cdot 1) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Étape 10.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(2 x \cdot x + x \cdot 1) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Étape 10.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(2 x \cdot x + x) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Étape 10.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(2 (x \cdot x) + x) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Étape 10.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(2 x^{2} + x) \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Étape 10.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} \cdot 72 + x \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Étape 10.6

Multipliez $72$ par $2$ .

$\frac{144 x^{2} + x \cdot 72 - 55}{144} = 0$

Étape 10.7

Déplacez $72$ à gauche de $x$ .

$\frac{144 x^{2} + 72 x - 55}{144} = 0$

Étape 10.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 144 \cdot - 55 = - 7920$ et dont la somme est $b = 72$ .

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Étape 10.8.1.1

Factorisez $72$ à partir de $72 x$ .

$\frac{144 x^{2} + 72 (x) - 55}{144} = 0$

Étape 10.8.1.2

Réécrivez $72$ comme $- 60$ plus $132$

$\frac{144 x^{2} + (- 60 + 132) x - 55}{144} = 0$

Étape 10.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{144 x^{2} - 60 x + 132 x - 55}{144} = 0$

Étape 10.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(144 x^{2} - 60 x) + 132 x - 55}{144} = 0$

Étape 10.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{12 x (12 x - 5) + 11 (12 x - 5)}{144} = 0$

Étape 10.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $12 x - 5$ .

$\frac{(12 x - 5) (12 x + 11)}{144} = 0$

Étape 11

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(12 x - 5) (12 x + 11) = 0$

Étape 12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 12.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$12 x - 5 = 0$

$12 x + 11 = 0$

Étape 12.2

Définissez $12 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.2.1

Définissez $12 x - 5$ égal à $0$ .

$12 x - 5 = 0$

Étape 12.2.2

Résolvez $12 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x = 5$

Étape 12.2.2.2

Divisez chaque terme dans $12 x = 5$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $12 x = 5$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{5}{12}$

Étape 12.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 12.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{5}{12}$

Étape 12.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{12}$

Étape 12.3

Définissez $12 x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.3.1

Définissez $12 x + 11$ égal à $0$ .

$12 x + 11 = 0$

Étape 12.3.2

Résolvez $12 x + 11 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.3.2.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$12 x = - 11$

Étape 12.3.2.2

Divisez chaque terme dans $12 x = - 11$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 12.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $12 x = - 11$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 11}{12}$

Étape 12.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 12.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 11}{12}$

Étape 12.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 11}{12}$

Étape 12.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{11}{12}$

Étape 12.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(12 x - 5) (12 x + 11) = 0$ vraie.

$x = \frac{5}{12}, - \frac{11}{12}$