Algèbre Exemples

${(x^{2} + 1)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x^{2})}^{4 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 4} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(x^{2})}^{4} \cdot {(1)}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Déplacez ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.1.2

Multipliez ${(1)}^{0}$ par $1$ .

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Étape 4.1.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1^{0 + 1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.2

Simplifiez $1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4}$ .

${(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{4}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x^{8} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{6} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.5

Évaluez l’exposant.

$x^{8} + 4 x^{6} \cdot 1 + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot x^{4} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.9

Multipliez $6$ par $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.10

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{1}$ .

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Étape 4.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot x^{2 \cdot 1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot x^{2} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.12

Multipliez $4$ par $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Étape 4.13

Multipliez $1$ par ${(1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.13.1

Déplacez ${(1)}^{4}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + {(1)}^{4} \cdot 1 \cdot {(x^{2})}^{0}$

Étape 4.13.2

Multipliez ${(1)}^{4}$ par $1$ .

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Étape 4.13.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Étape 4.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{4 + 1} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Étape 4.13.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{5} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Étape 4.14

Simplifiez $1^{5} \cdot {(x^{2})}^{0}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{5}$

Étape 4.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1$