Algèbre Exemples

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2} = 0$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \cos (x) = 2 \cdot \cos (x) \cdot 1$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\cos^{2} (x) + 2 \cdot \cos (x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = \cos (x)$ et $b = 1$ .

${(\cos (x) + 1)}^{2} = 0$

Étape 2

Définissez le $\cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 1$

Étape 3.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 3.4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 3.5

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 3.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$