Algèbre Exemples

$y = - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2}$

Étape 1

La fonction parent est la forme la plus simple du type de fonction donné.

$y = x^{2}$

Étape 2

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot ((x + 1) (x + 1))$

Étape 2.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x + x + 1)$

Étape 2.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (x)) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 1 x - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 1 x - \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$

Étape 3

Supposez que $y = x^{2}$ est $f (x) = x^{2}$ et que $y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2}$ est $g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$

Étape 4

La transformation décrite est de $f (x) = x^{2}$ à $g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$

Étape 5

Déterminez la forme du sommet de $g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - \frac{1}{2}$

Étape 5.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 5.1.3.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Étape 5.1.3.2.3

Divisez $2$ par $2$ .

$d = \frac{1}{1}$

Étape 5.1.3.2.4

Divisez $1$ par $1$ .

$d = 1$

Étape 5.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.1.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Étape 5.1.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

Étape 5.1.4.2.1.3

Divisez $- 4$ par $2$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{- 2}$

Étape 5.1.4.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{1}{2} - - \frac{1}{2}$

Étape 5.1.4.2.1.5

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1.4.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 5.1.4.2.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$e = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.1.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 1 + 1}{2}$

Étape 5.1.4.2.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$e = \frac{0}{2}$

Étape 5.1.4.2.4

Divisez $0$ par $2$ .

$e = 0$

Étape 5.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + 0$

Étape 5.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} + 0$

Étape 6

Le décalage horizontal dépend de la valeur de $h$ . Le décalage horizontal est décrit comme :

$g (x) = f (x + h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la gauche.

$g (x) = f (x - h)$ - Le graphe est décalé de $h$ unités vers la droite.

Décalage horizontal : Unités $1$ de gauche

Étape 7

Le décalage vertical dépend de la valeur de $k$ . Le décalage vertical est décrit comme :

$g (x) = f (x) + k$ - Le graphe est décalé de $k$ unités vers le haut.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Dans ce cas, $k = 0$ ce qui signifie que le graphe n’est pas décalé vers le haut ni vers le bas.

Décalage vertical : Aucune

Étape 8

Le graphe est reflété autour de l’abscisse quand $g (x) = - f (x)$ .

Réflexion par rapport à l’abscisse : Réfléchi

Étape 9

Le graphe est reflété autour de l’ordonnée quand $g (x) = f (- x)$ .

Réflexion par rapport à l’ordonnée : Aucune

Étape 10

La compression et le développement dépendent de la valeur de $a$ .

Quand $a$ est supérieur à $1$ : Étiré verticalement

Où $a$ est compris entre $0$ et $1$ : Comprimé verticalement

Compression verticale ou étirement : Comprimé

Étape 11

Comparez et énumérez les transformées.

Fonction parent : $y = x^{2}$

Décalage horizontal : Unités $1$ de gauche

Décalage vertical : Aucune

Réflexion par rapport à l’abscisse : Réfléchi

Réflexion par rapport à l’ordonnée : Aucune

Compression verticale ou étirement : Comprimé

Étape 12