Algèbre Exemples

$4 x^{2} + 5 = 10 x$

Étape 1

Simplifiez l’équation dans une forme appropriée pour compléter le carré.

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Étape 1.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = 10 x - 5$

Étape 1.2

Soustrayez $10 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 10 x = - 5$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} - 10 x = - 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} - 10 x = - 5$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 10 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 10 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{- 10 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $4$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 5 x)}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2)} = \frac{- 5}{4}$

Étape 2.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{2 (- 5 x)}{2 \cdot 2} = \frac{- 5}{4}$

Étape 2.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{- 5 x}{2} = \frac{- 5}{4}$

Étape 2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} = \frac{- 5}{4}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} = - \frac{5}{4}$

Étape 3

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 4

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- \frac{5}{4})}^{2} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + 1 \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4^{2}} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- \frac{5}{4} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{5}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{5}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{5}{4} + 1 \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{5}{4} + \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{5}{4} + \frac{25}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{5}{4} + \frac{25}{16}$

Étape 5.2.1.2

Pour écrire $- \frac{5}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{16}$

Étape 5.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{25}{16}$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{5 \cdot 4}{16} + \frac{25}{16}$

Étape 5.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{16}$

Étape 5.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.5.1

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{- 20 + 25}{16}$

Étape 5.2.1.5.2

Additionnez $- 20$ et $25$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{5}{16}$

Étape 6

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x - \frac{5}{4})}^{2}$ .

${(x - \frac{5}{4})}^{2} = \frac{5}{16}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{5}{4} = \pm \sqrt{\frac{5}{16}}$

Étape 7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{5}{16}}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{16}}$ .

$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{16}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{\sqrt{5}}{4}$

Étape 7.3

Ajoutez $\frac{5}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{5}{4}$

Forme décimale :

$x = 1.80901699 \dots, 0.69098300 \dots$