Algèbre Exemples

$x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} = \frac{4}{9}$

Étape 1

Simplifiez l’équation dans une forme appropriée pour compléter le carré.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{4}{9}$

Étape 1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.1

Soustrayez $\frac{1}{16}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{4}{9} - \frac{1}{16}$

Étape 1.2.2

Pour écrire $\frac{4}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{16}$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- \frac{1}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 1.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $144$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.4.1

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $\frac{16}{16}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $9$ par $16$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{4 \cdot 16}{144} - \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{9}{9}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{4 \cdot 16}{144} - \frac{9}{16 \cdot 9}$

Étape 1.2.4.4

Multipliez $16$ par $9$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{4 \cdot 16}{144} - \frac{9}{144}$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{4 \cdot 16 - 9}{144}$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $4$ par $16$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{64 - 9}{144}$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $9$ de $64$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{55}{144}$

Étape 2

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 3

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} + \frac{x}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} = \frac{55}{144} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1^{2}}{4^{2}} = \frac{55}{144} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 4.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4^{2}} = \frac{55}{144} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 4.1.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{55}{144} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\frac{55}{144} + {(\frac{1}{4})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{55}{144} + \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Étape 4.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{55}{144} + \frac{1}{4^{2}}$

Étape 4.2.1.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{55}{144} + \frac{1}{16}$

Étape 4.2.1.2

Pour écrire $\frac{1}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{55}{144} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 4.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $144$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{9}{9}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{55}{144} + \frac{9}{16 \cdot 9}$

Étape 4.2.1.3.2

Multipliez $16$ par $9$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{55}{144} + \frac{9}{144}$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{55 + 9}{144}$

Étape 4.2.1.4.2

Additionnez $55$ et $9$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{64}{144}$

Étape 4.2.1.5

Annulez le facteur commun à $64$ et $144$ .

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Étape 4.2.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{16 (4)}{144}$

Étape 4.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.5.2.1

Factorisez $16$ à partir de $144$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{16 \cdot 4}{16 \cdot 9}$

Étape 4.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{16 \cdot 4}{16 \cdot 9}$

Étape 4.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{4}{9}$

Étape 5

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x + \frac{1}{4})}^{2}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{4}{9}$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{\frac{4}{9}}$

Étape 6.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{9}}$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ .

$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{2}{\sqrt{9}}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 6.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{2}{3}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x + \frac{1}{4} = \frac{2}{3}$

Étape 6.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $\frac{1}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$

Étape 6.3.2.2

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 6.3.2.3

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.3.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.2.4.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.3.2.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.3.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}$

Étape 6.3.2.4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{12}$

Étape 6.3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 \cdot 4 - 3}{12}$

Étape 6.3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.2.6.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{8 - 3}{12}$

Étape 6.3.2.6.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$x = \frac{5}{12}$

Étape 6.3.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x + \frac{1}{4} = - \frac{2}{3}$

Étape 6.3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.4.1

Soustrayez $\frac{1}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$

Étape 6.3.4.2

Pour écrire $- \frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 6.3.4.3

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.3.4.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.4.4.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$x = - \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.3.4.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$x = - \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.3.4.4.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3}$

Étape 6.3.4.4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = - \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{12}$

Étape 6.3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 2 \cdot 4 - 3}{12}$

Étape 6.3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.4.6.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$x = \frac{- 8 - 3}{12}$

Étape 6.3.4.6.2

Soustrayez $3$ de $- 8$ .

$x = \frac{- 11}{12}$

Étape 6.3.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{11}{12}$

Étape 6.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{5}{12}, - \frac{11}{12}$