Algèbre Exemples

$\frac{1}{3} \log (2 x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{3} \cdot \log (2 y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot \log (2 y) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \log (2 y) = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot \log (2 y)) = 3 x$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} \cdot \log (2 y))$ .

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Étape 2.3.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\log (2 y)$ .

$3 \frac{\log (2 y)}{3} = 3 x$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\log (2 y)}{3} = 3 x$

Étape 2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log (2 y) = 3 x$

Étape 2.4

Réécrivez $\log (2 y) = 3 x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{3 x} = 2 y$

Étape 2.5

Résolvez $y$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $2 y = 10^{3 x}$ .

$2 y = 10^{3 x}$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 10^{3 x}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 10^{3 x}$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{10^{3 x}}{2}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{10^{3 x}}{2}$

Étape 2.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{10^{3 x}}{2}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{3 x}}{2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{10^{3 x}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log (2 x)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log (2 x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log (2 x)) = \frac{10^{3 (\frac{1}{3} \cdot \log (2 x))}}{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log (2 x)) = \frac{10^{3 (\frac{1}{3}) \cdot \log (2 x)}}{2}$

Étape 4.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log (2 x)) = \frac{10^{1 \cdot \log (2 x)}}{2}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez $1 \cdot \log (2 x)$ en déplaçant $1$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log (2 x)) = \frac{10^{\log ({(2 x)}^{1})}}{2}$

Étape 4.2.3.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.2.3.4

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log (2 x)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{10^{3 x}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{10^{3 x}}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \log (2 (\frac{10^{3 x}}{2}))$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{10^{3 x}}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \log (2 (\frac{10^{3 x}}{2}))$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{10^{3 x}}{2}) = \frac{1}{3} \cdot \log (10^{3 x})$

Étape 4.3.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $3 x$ de l’exposant.

$f (\frac{10^{3 x}}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \log (10))$

Étape 4.3.5

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$f (\frac{10^{3 x}}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \cdot 1)$

Étape 4.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{10^{3 x}}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f (\frac{10^{3 x}}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{10^{3 x}}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Étape 4.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{10^{3 x}}{2}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{10^{3 x}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{3 x}}{2}$