Algèbre Exemples

${(n p - 1)}^{4}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(n p - 1)}^{4}$ , $n = 4$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $5$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $n p$ et $b$ $- 1$ dans l’expression.

$1 {(n p)}^{4} {(- 1)}^{0} + 4 {(n p)}^{3} {(- 1)}^{1} + 6 {(n p)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 {(n p)}^{1} {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(n p)}^{4}$ par $1$ .

${(n p)}^{4} {(- 1)}^{0} + 4 {(n p)}^{3} {(- 1)}^{1} + 6 {(n p)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 {(n p)}^{1} {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $n p$ .

$n^{4} p^{4} {(- 1)}^{0} + 4 {(n p)}^{3} {(- 1)}^{1} + 6 {(n p)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 {(n p)}^{1} {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$n^{4} p^{4} \cdot 1 + 4 {(n p)}^{3} {(- 1)}^{1} + 6 {(n p)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 {(n p)}^{1} {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.4

Multipliez $n^{4}$ par $1$ .

$n^{4} p^{4} + 4 {(n p)}^{3} {(- 1)}^{1} + 6 {(n p)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 {(n p)}^{1} {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.5

Appliquez la règle de produit à $n p$ .

$n^{4} p^{4} + 4 (n^{3} p^{3}) {(- 1)}^{1} + 6 {(n p)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 {(n p)}^{1} {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.6

Évaluez l’exposant.

$n^{4} p^{4} + 4 n^{3} p^{3} \cdot - 1 + 6 {(n p)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 {(n p)}^{1} {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 {(n p)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 {(n p)}^{1} {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.8

Appliquez la règle de produit à $n p$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 (n^{2} p^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 {(n p)}^{1} {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} \cdot 1 + 4 {(n p)}^{1} {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.10

Multipliez $6$ par $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} + 4 {(n p)}^{1} {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.11

Simplifiez

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} + 4 (n p) {(- 1)}^{3} + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} + 4 n p \cdot - 1 + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.13

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1 {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.14

Multipliez ${(n p)}^{0}$ par $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + {(n p)}^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.15

Appliquez la règle de produit à $n p$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + n^{0} p^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.16

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1 p^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.17

Multipliez $p^{0}$ par $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + p^{0} {(- 1)}^{4}$

Étape 4.18

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1 {(- 1)}^{4}$

Étape 4.19

Multipliez ${(- 1)}^{4}$ par $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + {(- 1)}^{4}$

Étape 4.20

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1$