Algèbre Exemples

$y = 2 + \sqrt{2 x - 4}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 2 + \sqrt{2 y - 4}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 + \sqrt{2 y - 4} = x$ .

$2 + \sqrt{2 y - 4} = x$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 y - 4} = x - 2$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 y - 4}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 y - 4}$ comme ${(2 y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${({(2 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y - 4)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$2 y - 4 = {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 y - 4 = (x - 2) (x - 2)$

Étape 2.4.3.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y - 4 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Étape 2.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y - 4 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Étape 2.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y - 4 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 2.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 y - 4 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 2.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$2 y - 4 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 2.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 y - 4 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Étape 2.4.3.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$2 y - 4 = x^{2} - 4 x + 4$

Étape 2.5

Résolvez $y$ .

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Étape 2.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.5.1.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = x^{2} - 4 x + 4 + 4$

Étape 2.5.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$2 y = x^{2} - 4 x + 8$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $2 y = x^{2} - 4 x + 8$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = x^{2} - 4 x + 8$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{8}{2}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{8}{2}$

Étape 2.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 4 x}{2} + \frac{8}{2}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.5.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2} + \frac{8}{2}$

Étape 2.5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (1)} + \frac{8}{2}$

Étape 2.5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 1} + \frac{8}{2}$

Étape 2.5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{8}{2}$

Étape 2.5.2.3.1.1.2.4

Divisez $- 2 x$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{8}{2}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Divisez $8$ par $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4$ est l’inverse de $f (x) = 2 + \sqrt{2 x - 4}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{{(2 + \sqrt{2 x - 4})}^{2}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 4$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{{(2 + \sqrt{2 (x) - 4})}^{2}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{{(2 + \sqrt{2 x + 2 \cdot - 2})}^{2}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{{(2 + \sqrt{2 (x - 2)})}^{2}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez ${(2 + \sqrt{2 (x - 2)})}^{2}$ comme $(2 + \sqrt{2 (x - 2)}) (2 + \sqrt{2 (x - 2)})$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{(2 + \sqrt{2 (x - 2)}) (2 + \sqrt{2 (x - 2)})}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.3

Développez $(2 + \sqrt{2 (x - 2)}) (2 + \sqrt{2 (x - 2)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{2 (2 + \sqrt{2 (x - 2)}) + \sqrt{2 (x - 2)} (2 + \sqrt{2 (x - 2)})}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + \sqrt{2 (x - 2)} (2 + \sqrt{2 (x - 2)})}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + \sqrt{2 (x - 2)} \cdot 2 + \sqrt{2 (x - 2)} \sqrt{2 (x - 2)}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.4.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + \sqrt{2 (x - 2)} \cdot 2 + \sqrt{2 (x - 2)} \sqrt{2 (x - 2)}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2 (x - 2)}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + \sqrt{2 (x - 2)} \sqrt{2 (x - 2)}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.3

Multipliez $\sqrt{2 (x - 2)} \sqrt{2 (x - 2)}$ .

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Étape 4.2.3.4.1.3.1

Élevez $\sqrt{2 (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + \sqrt{2 (x - 2)} \sqrt{2 (x - 2)}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + {\sqrt{2 (x - 2)}}^{1 + 1}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + {\sqrt{2 (x - 2)}}^{2}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2 (x - 2)}}^{2}$ comme $2 (x - 2)$ .

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Étape 4.2.3.4.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (x - 2)}$ comme ${(2 (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + {({(2 (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + {(2 (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + {(2 (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.4.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + {(2 (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 (x - 2)}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 (x - 2)}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 x + 2 \cdot - 2}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.1.6

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 x - 4}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{0 + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 x}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.3

Additionnez $0$ et $2 \sqrt{2 (x - 2)}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 x}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.4.4

Additionnez $2 \sqrt{2 (x - 2)}$ et $2 \sqrt{2 (x - 2)}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{4 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 x}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.5

Annulez le facteur commun à $4 \sqrt{2 (x - 2)} + 2 x$ et $2$ .

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Étape 4.2.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2 (x - 2)}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{2 (2 \sqrt{2 (x - 2)}) + 2 x}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{2 (2 \sqrt{2 (x - 2)}) + 2 (x)}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 \sqrt{2 (x - 2)}) + 2 (x)$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{2 (2 \sqrt{2 (x - 2)} + x)}{2} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{2 (2 \sqrt{2 (x - 2)} + x)}{2 (1)} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{2 (2 \sqrt{2 (x - 2)} + x)}{2 \cdot 1} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = \frac{2 \sqrt{2 (x - 2)} + x}{1} - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.5.4.4

Divisez $2 \sqrt{2 (x - 2)} + x$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = 2 \sqrt{2 (x - 2)} + x - 2 (2 + \sqrt{2 x - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.6

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 4$ .

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Étape 4.2.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = 2 \sqrt{2 (x - 2)} + x - 2 (2 + \sqrt{2 (x) - 4}) + 4$

Étape 4.2.3.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = 2 \sqrt{2 (x - 2)} + x - 2 (2 + \sqrt{2 x + 2 \cdot - 2}) + 4$

Étape 4.2.3.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = 2 \sqrt{2 (x - 2)} + x - 2 (2 + \sqrt{2 (x - 2)}) + 4$

Étape 4.2.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = 2 \sqrt{2 (x - 2)} + x - 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 4$

Étape 4.2.3.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = 2 \sqrt{2 (x - 2)} + x - 4 - 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 4$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $2 \sqrt{2 (x - 2)} + x - 4 - 2 \sqrt{2 (x - 2)} + 4$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $2 \sqrt{2 (x - 2)}$ de $2 \sqrt{2 (x - 2)}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = x - 4 + 0 + 4$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x - 4$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = x - 4 + 4$

Étape 4.2.4.3

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = x + 0$

Étape 4.2.4.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{2 x - 4}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) - 4}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) - 4$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) + 2 \cdot - 2}$

Étape 4.3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) + 2 \cdot - 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 - 2)}$

Étape 4.3.3.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2)}$

Étape 4.3.3.3

Pour écrire $- 2 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x \cdot \frac{2}{2} + 2)}$

Étape 4.3.3.4

Associez $- 2 x$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{- 2 x \cdot 2}{2} + 2)}$

Étape 4.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - 2 x \cdot 2}{2} + 2)}$

Étape 4.3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x \cdot 2$ .

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Étape 4.3.3.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x \cdot x - 2 x \cdot 2}{2} + 2)}$

Étape 4.3.3.6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x \cdot 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x \cdot x + x (- 2 \cdot 2)}{2} + 2)}$

Étape 4.3.3.6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 2 \cdot 2)$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x (x - 2 \cdot 2)}{2} + 2)}$

Étape 4.3.3.6.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x (x - 4)}{2} + 2)}$

Étape 4.3.3.7

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x (x - 4)}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}$

Étape 4.3.3.8

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x (x - 4)}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}$

Étape 4.3.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x (x - 4) + 2 \cdot 2}{2})}$

Étape 4.3.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 \cdot 2}{2})}$

Étape 4.3.3.10.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 2 \cdot 2}{2})}$

Étape 4.3.3.10.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 2 \cdot 2}{2})}$

Étape 4.3.3.10.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2})}$

Étape 4.3.3.10.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.3.10.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - 4 x + 2^{2}}{2})}$

Étape 4.3.3.10.5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 4.3.3.10.5.3

Réécrivez le polynôme.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{2})}$

Étape 4.3.3.10.5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{2 (\frac{{(x - 2)}^{2}}{2})}$

Étape 4.3.3.11

Associez $2$ et $\frac{{(x - 2)}^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{2}}$

Étape 4.3.3.12

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.12.1

Réduisez l’expression $\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.12.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{2}}$

Étape 4.3.3.12.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{\frac{{(x - 2)}^{2}}{1}}$

Étape 4.3.3.12.2

Divisez ${(x - 2)}^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.3.3.13

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = 2 + x - 2$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $2 + x - 2$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4$ est l’inverse de $f (x) = 2 + \sqrt{2 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4$