Algèbre Exemples

$y = \ln (x^{5})$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \ln (y^{5})$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (y^{5}) = x$ .

$\ln (y^{5}) = x$

Étape 2.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y^{5})} = e^{x}$

Étape 2.3

Réécrivez $\ln (y^{5}) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y^{5}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’équation comme $y^{5} = e^{x}$ .

$y^{5} = e^{x}$

Étape 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[5]{e^{x}}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$ est l’inverse de $f (x) = \ln (x^{5})$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\ln (x^{5}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = \sqrt[5]{e^{\ln (x^{5})}}$

Étape 4.2.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Étape 4.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\ln (x^{5})) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\sqrt[5]{e^{x}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln ({(\sqrt[5]{e^{x}})}^{5})$

Étape 4.3.3

Réécrivez ${\sqrt[5]{e^{x}}}^{5}$ comme $e^{x}$ .

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Étape 4.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{e^{x}}$ comme $e^{\frac{x}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln ({(e^{\frac{x}{5}})}^{5})$

Étape 4.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x}{5} \cdot 5})$

Étape 4.3.3.3

Associez $\frac{x}{5}$ et $5$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x \cdot 5}{5}})$

Étape 4.3.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{\frac{x \cdot 5}{5}})$

Étape 4.3.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Étape 4.3.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x \ln (e)$

Étape 4.3.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x \cdot 1$

Étape 4.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\sqrt[5]{e^{x}}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$ est l’inverse de $f (x) = \ln (x^{5})$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{e^{x}}$