Algèbre Exemples

$x = y^{2} - 5 y$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} - 5 y = x$ .

$y^{2} - 5 y = x$

Étape 2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 5 y - x = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 5$ et $c = - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Étape 6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Étape 7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$

Étape 9

Interchangez les variables. Créez une équation pour chaque expression.

$x = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2}, x = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 y}}{2}$

Étape 10

Résolvez $y$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} = x$ .

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} = x$

Étape 10.2

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.1.1

Simplifiez $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2$ .

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Étape 10.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 + \sqrt{25 + 4 y}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 10.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 + \sqrt{25 + 4 y} = x \cdot 2$

Étape 10.3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $25$ et $4 y$ .

$5 + \sqrt{4 y + 25} = x \cdot 2$

Étape 10.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$5 + \sqrt{4 y + 25} = 2 x$

Étape 10.4

Résolvez $y$ .

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Étape 10.4.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 y + 25} = 2 x - 5$

Étape 10.4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 y + 25}}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Étape 10.4.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 10.4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 y + 25}$ comme ${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Étape 10.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.4.3.2.1

Simplifiez ${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.4.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 y + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Étape 10.4.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 y + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 5)}^{2}$

Étape 10.4.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 y + 25)}^{1} = {(2 x - 5)}^{2}$

Étape 10.4.3.2.1.2

Simplifiez

$4 y + 25 = {(2 x - 5)}^{2}$

Étape 10.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.4.3.3.1

Simplifiez ${(2 x - 5)}^{2}$ .

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Étape 10.4.3.3.1.1

Réécrivez ${(2 x - 5)}^{2}$ comme $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$4 y + 25 = (2 x - 5) (2 x - 5)$

Étape 10.4.3.3.1.2

Développez $(2 x - 5) (2 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.4.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 25 = 2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)$

Étape 10.4.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 25 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)$

Étape 10.4.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 25 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 10.4.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.4.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.3.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 10.4.3.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 10.4.3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 y + 25 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 10.4.3.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 10.4.3.3.1.3.1.4

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5$

Étape 10.4.3.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5$

Étape 10.4.3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25$

Étape 10.4.3.3.1.3.2

Soustrayez $10 x$ de $- 10 x$ .

$4 y + 25 = 4 x^{2} - 20 x + 25$

Étape 10.4.4

Résolvez $y$ .

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Étape 10.4.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.4.4.1.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$4 y = 4 x^{2} - 20 x + 25 - 25$

Étape 10.4.4.1.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{2} - 20 x + 25 - 25$ .

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Étape 10.4.4.1.2.1

Soustrayez $25$ de $25$ .

$4 y = 4 x^{2} - 20 x + 0$

Étape 10.4.4.1.2.2

Additionnez $4 x^{2} - 20 x$ et $0$ .

$4 y = 4 x^{2} - 20 x$

Étape 10.4.4.2

Divisez chaque terme dans $4 y = 4 x^{2} - 20 x$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 10.4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y = 4 x^{2} - 20 x$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Étape 10.4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Étape 10.4.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Étape 10.4.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.4.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.4.4.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 20 x}{4}$

Étape 10.4.4.2.3.1.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 20 x}{4}$

Étape 10.4.4.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $4$ .

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Étape 10.4.4.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20 x$ .

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4}$

Étape 10.4.4.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.4.2.3.1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4 (1)}$

Étape 10.4.4.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = x^{2} + \frac{4 (- 5 x)}{4 \cdot 1}$

Étape 10.4.4.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = x^{2} + \frac{- 5 x}{1}$

Étape 10.4.4.2.3.1.2.2.4

Divisez $- 5 x$ par $1$ .

$y = x^{2} - 5 x$

Étape 11

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$

Étape 12

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

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Étape 12.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ et $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ puis comparez-les.

Étape 12.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

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Étape 12.2.1

Déterminez la plage de $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

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Étape 12.2.1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[\frac{5}{2}, \infty)$

Étape 12.2.2

Déterminez la plage de $\frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

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Étape 12.2.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{5}{2}]$

Étape 12.2.3

Déterminez l’union de $[\frac{5}{2}, \infty), (- \infty, \frac{5}{2}]$ .

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Étape 12.2.3.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$(- \infty, \infty)$

Étape 12.3

Déterminez le domaine de $\frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

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Étape 12.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{25 + 4 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$25 + 4 x \geq 0$

Étape 12.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 12.3.2.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’inégalité.

$4 x \geq - 25$

Étape 12.3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x \geq - 25$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 12.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x \geq - 25$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 25}{4}$

Étape 12.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 12.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 25}{4}$

Étape 12.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 25}{4}$

Étape 12.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x \geq - \frac{25}{4}$

Étape 12.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- \frac{25}{4}, \infty)$

Étape 12.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ est le domaine de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5 x$

Étape 13