Algèbre Exemples

$d (x) = \frac{1}{36} {(x - 60)}^{2} - 100$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 60)}^{2}$ comme $(x - 60) (x - 60)$ .

$d (x) = \frac{1}{36} \cdot ((x - 60) (x - 60)) - 100$

Étape 1.2

Développez $(x - 60) (x - 60)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$d (x) = \frac{1}{36} \cdot (x (x - 60) - 60 (x - 60)) - 100$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$d (x) = \frac{1}{36} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 60 - 60 (x - 60)) - 100$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$d (x) = \frac{1}{36} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 60 - 60 x - 60 \cdot - 60) - 100$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$d (x) = \frac{1}{36} \cdot (x^{2} + x \cdot - 60 - 60 x - 60 \cdot - 60) - 100$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 60$ à gauche de $x$ .

$d (x) = \frac{1}{36} \cdot (x^{2} - 60 \cdot x - 60 x - 60 \cdot - 60) - 100$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 60$ par $- 60$ .

$d (x) = \frac{1}{36} \cdot (x^{2} - 60 x - 60 x + 3600) - 100$

Étape 1.3.2

Soustrayez $60 x$ de $- 60 x$ .

$d (x) = \frac{1}{36} \cdot (x^{2} - 120 x + 3600) - 100$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$d (x) = \frac{1}{36} x^{2} + \frac{1}{36} \cdot (- 120 x) + \frac{1}{36} \cdot 3600 - 100$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Associez $\frac{1}{36}$ et $x^{2}$ .

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} + \frac{1}{36} \cdot (- 120 x) + \frac{1}{36} \cdot 3600 - 100$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $12$ à partir de $36$ .

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} + \frac{1}{12 (3)} \cdot (- 120 x) + \frac{1}{36} \cdot 3600 - 100$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $12$ à partir de $- 120 x$ .

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} + \frac{1}{12 (3)} \cdot (12 (- 10 x)) + \frac{1}{36} \cdot 3600 - 100$

Étape 1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} + \frac{1}{12 \cdot 3} \cdot (12 (- 10 x)) + \frac{1}{36} \cdot 3600 - 100$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} + \frac{1}{3} \cdot (- 10 x) + \frac{1}{36} \cdot 3600 - 100$

Étape 1.5.3

Associez $- 10$ et $\frac{1}{3}$ .

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} + \frac{- 10}{3} x + \frac{1}{36} \cdot 3600 - 100$

Étape 1.5.4

Associez $\frac{- 10}{3}$ et $x$ .

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{1}{36} \cdot 3600 - 100$

Étape 1.5.5

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 1.5.5.1

Factorisez $36$ à partir de $3600$ .

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{1}{36} \cdot (36 (100)) - 100$

Étape 1.5.5.2

Annulez le facteur commun.

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{1}{36} \cdot (36 \cdot 100) - 100$

Étape 1.5.5.3

Réécrivez l’expression.

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} + \frac{- 10 x}{3} + 100 - 100$

Étape 1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} - \frac{10 x}{3} + 100 - 100$

Étape 2

Associez les termes opposés dans $\frac{x^{2}}{36} - \frac{10 x}{3} + 100 - 100$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $100$ de $100$ .

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} - \frac{10 x}{3} + 0$

Étape 2.2

Additionnez $\frac{x^{2}}{36} - \frac{10 x}{3}$ et $0$ .

$d (x) = \frac{x^{2}}{36} - \frac{10 x}{3}$

Étape 3

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 4

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 3.\overline{3}}{2 (0.02\overline{7})}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 3.\overline{3}}{2 (0.02\overline{7})}$

Étape 4.3

Simplifiez $- \frac{- 3.\overline{3}}{2 (0.02\overline{7})}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $0.02\overline{7}$ .

$x = - \frac{- 3.\overline{3}}{0.0\overline{5}}$

Étape 4.3.2

Divisez $- 3.\overline{3}$ par $0.0\overline{5}$ .

$x = - - 60$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 60$ .

$x = 60$

Étape 5

Évaluez $f (60)$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $60$ dans l’expression.

$d (60) = \frac{{(60)}^{2}}{36} - \frac{10 (60)}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $60$ à la puissance $2$ .

$d (60) = \frac{3599.\overline{9}}{36} - \frac{10 (60)}{3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $3599.\overline{9}$ par $36$ .

$d (60) = 100 - \frac{10 (60)}{3}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $10$ par $60$ .

$d (60) = 100 - \frac{599.99999999}{3}$

Étape 5.2.1.4

Divisez $599.99999999$ par $3$ .

$d (60) = 100 - 1 \cdot 200$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $200$ .

$d (60) = 100 - 200$

Étape 5.2.2

Soustrayez $200$ de $100$ .

$d (60) = - 100$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 100$ .

$- 100$

Étape 6

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(60, - 100)$

Étape 7