Algèbre Exemples

$\tan (x - y) = \frac{y}{1 + x^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (\tan (x - y)) = \frac{d}{d y} (\frac{y}{1 + x^{2}})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \tan (y)$ et $g (y) = x - y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$\sec^{2} (x - y) \frac{d}{d y} [x - y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\sec^{2} (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\sec^{2} (x - y) (x' + \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\sec^{2} (x - y) (x' - \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (x - y) (x' - 1 \cdot 1)$

Étape 2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sec^{2} (x - y) (x' - 1)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y$ et $g (y) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $1 + x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - y \frac{d}{d y} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - y (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - y \frac{d}{d y} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - y (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - y (2 u \frac{d}{d y} [x])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - y (2 x \frac{d}{d y} [x])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 y (x \frac{d}{d y} [x])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 y x x'}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\sec^{2} (x - y) (x' - 1) = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\sec^{2} (x - y) (x' - 1) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\sec^{2} (x - y) (x' - 1) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(\sec^{2} (x - y) x' + \sec^{2} (x - y) \cdot - 1) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sec^{2} (x - y)$ .

$(\sec^{2} (x - y) x' - 1 \cdot \sec^{2} (x - y)) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez $- 1 \sec^{2} (x - y)$ comme $- \sec^{2} (x - y)$ .

$(\sec^{2} (x - y) x' - \sec^{2} (x - y)) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.2.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (x - y) x' {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sec^{2} (x - y) x' {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $\frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x y x' + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = x^{2} - 2 x y x' + 1$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Déplacez $y$ .

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = x^{2} - 2 x x' y + 1$

Étape 5.2.2.1.2.2

Déplacez $x$ .

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = x^{2} - 2 x' x y + 1$

Étape 5.2.2.1.2.3

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $- 2 x' x y$ .

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} = - 2 x' x y + x^{2} + 1$

Étape 5.3

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes contenant $x'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Ajoutez $2 x' x y$ aux deux côtés de l’équation.

$x' \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$x' \sec^{2} (x - y) ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.2

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$x' \sec^{2} (x - y) (x^{4} + 2 x^{2} + 1) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + x' \sec^{2} (x - y) (2 x^{2}) + x' \sec^{2} (x - y) \cdot 1 - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.5

Simplifiez

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Étape 5.3.1.2.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) \cdot 1 - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.5.2

Multipliez $x'$ par $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) {(x^{2} + 1)}^{2} + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.6

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.7

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.8.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.8.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.8.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.8.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.8.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.8.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.8.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.9

Appliquez la propriété distributive.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) x^{4} - \sec^{2} (x - y) (2 x^{2}) - \sec^{2} (x - y) \cdot 1 + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.10

Simplifiez

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Étape 5.3.1.2.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) x^{4} - 1 \cdot 2 \sec^{2} (x - y) x^{2} - \sec^{2} (x - y) \cdot 1 + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) x^{4} - 1 \cdot 2 \sec^{2} (x - y) x^{2} - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) x^{4} - 2 \sec^{2} (x - y) x^{2} - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x' \sec^{2} (x - y) x^{4} + 2 x' \sec^{2} (x - y) x^{2} + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) x^{4} - 2 \sec^{2} (x - y) x^{2} - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y$ .

$x' x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' \sec^{2} (x - y) - x^{4} \sec^{2} (x - y) - 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1$

Étape 5.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Ajoutez $x^{4} \sec^{2} (x - y)$ aux deux côtés de l’équation.

$x' x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' \sec^{2} (x - y) - 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y)$

Étape 5.3.2.2

Ajoutez $2 x^{2} \sec^{2} (x - y)$ aux deux côtés de l’équation.

$x' x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' \sec^{2} (x - y) - \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y)$

Étape 5.3.2.3

Ajoutez $\sec^{2} (x - y)$ aux deux côtés de l’équation.

$x' x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Étape 5.3.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' \sec^{2} (x - y) + 2 x' x y$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $x'$ à partir de $x' x^{4} \sec^{2} (x - y)$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y)) + 2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y) + x' (\sec^{2} (x - y)) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $x'$ à partir de $2 x' x^{2} \sec^{2} (x - y)$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x^{2} \sec^{2} (x - y)) + x' (\sec^{2} (x - y)) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' \sec^{2} (x - y)$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x^{2} \sec^{2} (x - y)) + x' (\sec^{2} (x - y)) + 2 x' x y = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $x'$ à partir de $2 x' x y$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x^{2} \sec^{2} (x - y)) + x' (\sec^{2} (x - y)) + x' (2 x y) = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $x'$ à partir de $x' (x^{4} \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x^{2} \sec^{2} (x - y))$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y)) + x' (\sec^{2} (x - y)) + x' (2 x y) = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Étape 5.3.3.6

Factorisez $x'$ à partir de $x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y)) + x' (\sec^{2} (x - y))$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x y) = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $x'$ à partir de $x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)) + x' (2 x y)$ .

$x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y) = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y) = x^{2} + 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)$ par $x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

$\frac{x' (x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} = \frac{x^{2}}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{x^{4} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y$ .

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Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{x^{4} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.4.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y)$ .

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Étape 5.3.4.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$x' = \frac{x^{2} \cdot 1 + x^{4} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3.1.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} \sec^{2} (x - y)$ .

$x' = \frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (x^{2} \sec^{2} (x - y))}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3.1.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (x^{2} \sec^{2} (x - y))$ .

$x' = \frac{x^{2} (1 + x^{2} \sec^{2} (x - y))}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{x^{2} (1 + x^{2} \sec^{2} (x - y)) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x' = \frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (x^{2} \sec^{2} (x - y)) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x' = \frac{x^{2} + x^{2} (x^{2} \sec^{2} (x - y)) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.4.3.2.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x' = \frac{x^{2} + x^{2} x^{2} \sec^{2} (x - y) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x' = \frac{x^{2} + x^{2 + 2} \sec^{2} (x - y) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3.2.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x' = \frac{x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 1}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3.3

Associez en une fraction.

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Étape 5.3.4.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 1 + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y} + \frac{\sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 5.3.4.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 1 + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + x^{4} \sec^{2} (x - y) + 1 + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y)}{x^{4} \sec^{2} (x - y) + 2 x^{2} \sec^{2} (x - y) + \sec^{2} (x - y) + 2 x y}$