Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{- 36}}{(2 - 3 i) + (3 + 2 i)}$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{\sqrt{- 36}}{2 - 3 i + 3 + 2 i}$

Étape 2

Extrayez l’unité imaginaire $i$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$\frac{\sqrt{- 1 (36)}}{2 - 3 i + 3 + 2 i}$

Étape 2.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (36)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$\frac{\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 - 3 i + 3 + 2 i}$

Étape 2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{36}}{2 - 3 i + 3 + 2 i}$

Étape 3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{i \cdot \sqrt{36}}{5 - 1 \cdot i}$ par le conjugué de $5 - 1 \cdot i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{i \cdot \sqrt{36}}{5 - 1 \cdot i} \cdot \frac{5 + i}{5 + i}$

Étape 4

Multipliez.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{i \cdot \sqrt{36} (5 + i)}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{i \cdot \sqrt{6^{2}} (5 + i)}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{i \cdot 6 (5 + i)}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2.3

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$\frac{6 \cdot i (5 + i)}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 i \cdot 5 + 6 i i}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2.5

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{30 i + 6 i i}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2.6

Multipliez $6 i i$ .

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Étape 4.2.6.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{30 i + 6 (i^{1} i)}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2.6.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{30 i + 6 (i^{1} i^{1})}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{30 i + 6 i^{1 + 1}}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{30 i + 6 i^{2}}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.7.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{30 i + 6 \cdot - 1}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2.7.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{30 i - 6}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.2.8

Remettez dans l’ordre $30 i$ et $- 6$ .

$\frac{- 6 + 30 i}{(5 - 1 \cdot i) (5 + i)}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Développez $(5 - 1 \cdot i) (5 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 + 30 i}{5 (5 + i) - 1 \cdot i (5 + i)}$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 + 30 i}{5 \cdot 5 + 5 i - 1 \cdot i (5 + i)}$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 + 30 i}{5 \cdot 5 + 5 i - 1 \cdot i \cdot 5 - 1 \cdot i i}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{- 6 + 30 i}{25 + 5 i - 1 \cdot i \cdot 5 - 1 \cdot i i}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 + 30 i}{25 + 5 i - 5 \cdot i - 1 \cdot i i}$

Étape 4.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 + 30 i}{25 + 5 i - 5 \cdot i - 1 \cdot (i^{1} i)}$

Étape 4.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 + 30 i}{25 + 5 i - 5 \cdot i - 1 \cdot (i^{1} i^{1})}$

Étape 4.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 6 + 30 i}{25 + 5 i - 5 \cdot i - 1 \cdot i^{1 + 1}}$

Étape 4.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 6 + 30 i}{25 + 5 i - 5 \cdot i - 1 \cdot i^{2}}$

Étape 4.3.2.7

Soustrayez $5 \cdot i$ de $5 i$ .

$\frac{- 6 + 30 i}{25 + 0 - 1 \cdot i^{2}}$

Étape 4.3.2.8

Additionnez $25$ et $0$ .

$\frac{- 6 + 30 i}{25 - 1 \cdot i^{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 6 + 30 i}{25 - 1 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 + 30 i}{25 + 1}$

Étape 4.3.4

Additionnez $25$ et $1$ .

$\frac{- 6 + 30 i}{26}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $- 6 + 30 i$ et $26$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 (- 3) + 30 i}{26}$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $30 i$ .

$\frac{2 (- 3) + 2 (15 i)}{26}$

Étape 5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3) + 2 (15 i)$ .

$\frac{2 (- 3 + 15 i)}{26}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $26$ .

$\frac{2 (- 3 + 15 i)}{2 \cdot 13}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 3 + 15 i)}{2 \cdot 13}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 + 15 i}{13}$

Étape 6

Divisez la fraction $\frac{- 3 + 15 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{- 3}{13} + \frac{15 i}{13}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{13} + \frac{15 i}{13}$