Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ comme ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

$20 \frac{d}{d x} [{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (- {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$- 20 ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 9 e^{- 3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$

Étape 1.3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 e^{- 3 x}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Étape 1.3.6

Multipliez $9$ par $- 20$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 x$ .

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Étape 1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 1.5

Différenciez.

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Étape 1.5.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 3$ par $- 180$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

Étape 1.5.4

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Réorganisez les facteurs de $540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$ .

$540 e^{- 3 x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2}$

Étape 1.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Étape 1.6.3

Multipliez $540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ .

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Étape 1.6.3.1

Associez $\frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ et $540$ .

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} e^{- 3 x}$

Étape 1.6.3.2

Associez $\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ et $e^{- 3 x}$ .

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $540$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ par rapport à $x$ est $540 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 540 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{- 3 x}$ et $g (x) = {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2})}^{2}})$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2 \cdot 2}})$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 x$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 3 x$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 3 x)) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 3 x)) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 3 x$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (- 3 x)) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} x) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} \cdot - 3 - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.5.3.2

Déplacez $- 3$ à gauche de ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 \cdot ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - e^{- 3 x} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - e^{- 3 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - e^{- 3 x} (2 (1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.7

Différenciez.

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Étape 2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 9 e^{- 3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (9 e^{- 3 x})))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.7.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (0 + \frac{d}{d x} (9 e^{- 3 x})))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.7.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.7.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 e^{- 3 x}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (9 \frac{d}{d x} (e^{- 3 x})))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.7.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.6.1

Déplacez $9$ à gauche de $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} (9 \cdot (1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.7.6.2

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 x$ .

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Étape 2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $- 3 x$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- 3 x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.8.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- 3 x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $- 3 x$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (- 3 x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x - 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (- 3 x))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.10

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (- 3 x))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.11

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (- 3 \frac{d}{d x} x))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.12

Multipliez $- 3$ par $- 18$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (\frac{d}{d x} (x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \cdot 1)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.14

Associez les fractions.

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Étape 2.14.1

Multipliez $1 + 9 e^{- 3 x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} (1 + 9 e^{- 3 x})}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

Étape 2.14.2

Associez $540$ et $\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} (1 + 9 e^{- 3 x})}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} \cdot 1 + 54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.3.1.1

Réécrivez ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}$ comme $(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x})$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 ((1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.2

Développez $(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.15.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 (1 + 9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} (1 + 9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 \cdot 1 + 1 (9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} (1 + 9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 \cdot 1 + 1 (9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} \cdot 1 + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.15.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 1 (9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} \cdot 1 + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.1.2

Multipliez $9 e^{- 3 x}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} \cdot 1 + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.1.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 e^{- 3 x} e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.1.5

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $e^{- 3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.3.1.3.1.5.1

Déplacez $e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}))) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 e^{- 3 x - 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.1.5.3

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.1.6

Multipliez $9$ par $9$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 81 e^{- 6 x}) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.2

Additionnez $9 e^{- 3 x}$ et $9 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 18 e^{- 3 x} + 81 e^{- 6 x}) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 \cdot 1 - 3 (18 e^{- 3 x}) - 3 (81 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.5

Simplifiez

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Étape 2.15.3.1.5.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 - 3 (18 e^{- 3 x}) - 3 (81 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.5.2

Multipliez $18$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 - 54 e^{- 3 x} - 3 (81 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.5.3

Multipliez $81$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 - 54 e^{- 3 x} - 243 e^{- 6 x}) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 3 x} e^{- 3 x} - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7

Simplifiez

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Étape 2.15.3.1.7.1

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $e^{- 3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.3.1.7.1.1

Déplacez $e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 3 x - 3 x} - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7.1.3

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7.2

Multipliez $e^{- 6 x}$ par $e^{- 3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.3.1.7.2.1

Déplacez $e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 (e^{- 3 x} e^{- 6 x})) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 e^{- 3 x - 6 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7.2.3

Soustrayez $6 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x}) + 540 (- 54 e^{- 6 x}) + 540 (- 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.9

Simplifiez

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Étape 2.15.3.1.9.1

Multipliez $- 3$ par $540$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} + 540 (- 54 e^{- 6 x}) + 540 (- 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.9.2

Multipliez $- 54$ par $540$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} + 540 (- 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.9.3

Multipliez $- 243$ par $540$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.10

Multipliez $54$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 540 (54 e^{- 6 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.11

Multipliez $54$ par $540$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.12

Multipliez $e^{- 6 x}$ par $e^{- 3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.3.1.12.1

Déplacez $e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 (e^{- 3 x} e^{- 6 x}) \cdot 9)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 e^{- 3 x - 6 x} \cdot 9)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.12.3

Soustrayez $6 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 e^{- 9 x} \cdot 9)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.13

Multipliez $9$ par $54$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (486 e^{- 9 x})}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.14

Multipliez $486$ par $540$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 262440 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.2

Associez les termes opposés dans $- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 262440 e^{- 9 x}$ .

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Étape 2.15.3.2.1

Additionnez $- 29160 e^{- 6 x}$ et $29160 e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} + 0 - 131220 e^{- 9 x} + 262440 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.2.2

Additionnez $- 1620 e^{- 3 x}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 131220 e^{- 9 x} + 262440 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.3.3

Additionnez $- 131220 e^{- 9 x}$ et $262440 e^{- 9 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} + 131220 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

Étape 2.15.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{131220 e^{- 9 x} - 1620 e^{- 3 x}}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

Étape 2.15.5

Factorisez $1620$ à partir de $131220 e^{- 9 x} - 1620 e^{- 3 x}$ .

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Étape 2.15.5.1

Factorisez $1620$ à partir de $131220 e^{- 9 x}$ .

$f'' (x) = \frac{1620 (81 e^{- 9 x}) - 1620 e^{- 3 x}}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

Étape 2.15.5.2

Factorisez $1620$ à partir de $- 1620 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{1620 (81 e^{- 9 x}) + 1620 (- e^{- 3 x})}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

Étape 2.15.5.3

Factorisez $1620$ à partir de $1620 (81 e^{- 9 x}) + 1620 (- e^{- 3 x})$ .

$f'' (x) = \frac{1620 (81 e^{- 9 x} - e^{- 3 x})}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6