Algèbre Exemples

$x^{4} - 2 x^{2} - 16 x - 15 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$- 16 x + x^{4} - 2 x^{2} - 15 = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 16 x + {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 15 = 0$

Étape 1.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 16 x + u^{2} - 2 u - 15 = 0$

Étape 1.4

Factorisez $u^{2} - 2 u - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 16 x + (u - 5) (u + 3) = 0$

Étape 1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 16 x + (x^{2} - 5) (x^{2} + 3) = 0$

Étape 1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 16 x + (x^{2} - 5) (x^{2} + 3)$ .

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Étape 1.6.1

Remettez dans l’ordre $- 16 x$ et $(x^{2} - 5) (x^{2} + 3)$ .

$(x^{2} - 5) (x^{2} + 3) - 16 x = 0$

Étape 1.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $(x^{2} - 5) (x^{2} + 3)$ .

$- ((- x^{2} + 5) (x^{2} + 3)) - 16 x = 0$

Étape 1.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 16 x$ .

$- ((- x^{2} + 5) (x^{2} + 3)) - (16 x) = 0$

Étape 1.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- ((- x^{2} + 5) (x^{2} + 3)) - (16 x)$ .

$- ((- x^{2} + 5) (x^{2} + 3) + 16 x) = 0$

Étape 1.7

Développez $(- x^{2} + 5) (x^{2} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (- x^{2} (x^{2} + 3) + 5 (x^{2} + 3) + 16 x) = 0$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 3 + 5 (x^{2} + 3) + 16 x) = 0$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (- x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 3 + 5 x^{2} + 5 \cdot 3 + 16 x) = 0$

Étape 1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- (- (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + 5 x^{2} + 5 \cdot 3 + 16 x) = 0$

Étape 1.8.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (- x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 3 + 5 x^{2} + 5 \cdot 3 + 16 x) = 0$

Étape 1.8.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- (- x^{4} - x^{2} \cdot 3 + 5 x^{2} + 5 \cdot 3 + 16 x) = 0$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- (- x^{4} - 3 x^{2} + 5 x^{2} + 5 \cdot 3 + 16 x) = 0$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$- (- x^{4} - 3 x^{2} + 5 x^{2} + 15 + 16 x) = 0$

Étape 1.8.2

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$- (- x^{4} + 2 x^{2} + 15 + 16 x) = 0$

Étape 1.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$- (- x^{4} + 2 x^{2} + 16 x + 15) = 0$

Étape 1.10

Factorisez.

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Étape 1.10.1

Réécrivez $- x^{4} + 2 x^{2} + 16 x + 15$ en forme factorisée.

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Étape 1.10.1.1

Factorisez $- x^{4} + 2 x^{2} + 16 x + 15$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.10.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 1.10.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Étape 1.10.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.10.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$- {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 15$

Étape 1.10.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- 1 \cdot 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 15$

Étape 1.10.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 15$

Étape 1.10.1.1.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 2 \cdot 1 + 16 \cdot - 1 + 15$

Étape 1.10.1.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 1 + 2 + 16 \cdot - 1 + 15$

Étape 1.10.1.1.3.6

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$1 + 16 \cdot - 1 + 15$

Étape 1.10.1.1.3.7

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$1 - 16 + 15$

Étape 1.10.1.1.3.8

Soustrayez $16$ de $1$ .

$- 15 + 15$

Étape 1.10.1.1.3.9

Additionnez $- 15$ et $15$ .

$0$

Étape 1.10.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{4} + 2 x^{2} + 16 x + 15}{x + 1}$

Étape 1.10.1.1.5

Divisez $- x^{4} + 2 x^{2} + 16 x + 15$ par $x + 1$ .

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Étape 1.10.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

Étape 1.10.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

Étape 1.10.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.10.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.10.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.10.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Étape 1.10.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Étape 1.10.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 1.10.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 1.10.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 1.10.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

Étape 1.10.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

Étape 1.10.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 1.10.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 1.10.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

$x^{2}$

$x$

$15 x$

Étape 1.10.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

$x^{2}$

$x$

$15 x$

$15$

Étape 1.10.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

$x^{2}$

$x$

$15 x$

$15$

Étape 1.10.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

$x^{2}$

$x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

Étape 1.10.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $15 x + 15$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

$x^{2}$

$x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

Étape 1.10.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$2 x^{2}$

$16 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

$x^{2}$

$x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

$0$

Étape 1.10.1.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{3} + x^{2} + x + 15$

Étape 1.10.1.1.6

Écrivez $- x^{4} + 2 x^{2} + 16 x + 15$ comme un ensemble de facteurs.

$- ((x + 1) (- x^{3} + x^{2} + x + 15)) = 0$

Étape 1.10.1.2

Factorisez $- x^{3} + x^{2} + x + 15$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.10.1.2.1

Factorisez $- x^{3} + x^{2} + x + 15$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.10.1.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 1.10.1.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Étape 1.10.1.2.1.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.10.1.2.1.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$- 3^{3} + 3^{2} + 3 + 15$

Étape 1.10.1.2.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 3^{2} + 3 + 15$

Étape 1.10.1.2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$- 27 + 3^{2} + 3 + 15$

Étape 1.10.1.2.1.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 27 + 9 + 3 + 15$

Étape 1.10.1.2.1.3.5

Additionnez $- 27$ et $9$ .

$- 18 + 3 + 15$

Étape 1.10.1.2.1.3.6

Additionnez $- 18$ et $3$ .

$- 15 + 15$

Étape 1.10.1.2.1.3.7

Additionnez $- 15$ et $15$ .

$0$

Étape 1.10.1.2.1.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + x^{2} + x + 15}{x - 3}$

Étape 1.10.1.2.1.5

Divisez $- x^{3} + x^{2} + x + 15$ par $x - 3$ .

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Étape 1.10.1.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$15$

Étape 1.10.1.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$

Étape 1.10.1.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 1.10.1.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} + 3 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 1.10.1.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 1.10.1.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Étape 1.10.1.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Étape 1.10.1.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 1.10.1.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 6 x$

			-	$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 1.10.1.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$5 x$

Étape 1.10.1.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$

Étape 1.10.1.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$

Étape 1.10.1.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$
							-	$5 x$	+	$15$

Étape 1.10.1.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x + 15$

			-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$
							+	$5 x$	-	$15$

Étape 1.10.1.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$5 x$	+	$15$
							+	$5 x$	-	$15$
										$0$

Étape 1.10.1.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} - 2 x - 5$

Étape 1.10.1.2.1.6

Écrivez $- x^{3} + x^{2} + x + 15$ comme un ensemble de facteurs.

$- ((x + 1) ((x - 3) (- x^{2} - 2 x - 5))) = 0$

Étape 1.10.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- ((x + 1) (x - 3) (- x^{2} - 2 x - 5)) = 0$

Étape 1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + 1) (x - 3) (- x^{2} - 2 x - 5) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$- x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Définissez $- x^{2} - 2 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $- x^{2} - 2 x - 5$ égal à $0$ .

$- x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $- x^{2} - 2 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.2.2

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 2$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 5)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot - 5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 5$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot - 5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2.3.1.3

Soustrayez $20$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2.3.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{- 2}$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 4 i}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 i}{- 1}$

Étape 5.2.3.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1 \pm 2 i}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (1 \pm 2 i)$

Étape 5.2.3.5

Réécrivez $- 1 \cdot (1 \pm 2 i)$ comme $- (1 \pm 2 i)$ .

$x = - (1 \pm 2 i)$

Étape 5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 - 2 i, - 1 + 2 i$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x + 1) (x - 3) (- x^{2} - 2 x - 5) = 0$ vraie.

$x = - 1, 3, - 1 - 2 i, - 1 + 2 i$

Étape 7