Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ comme une équation.

$y = \frac{1}{x^{4}} - 7$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{y^{4}} - 7$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$ .

$\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{y^{4}} = x + 7$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{4}, 1, 1$

Étape 3.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{4}$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ par $y^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ par $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{4}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x y^{4} + 7 y^{4}$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y^{4} + 7 y^{4} = 1$ .

$x y^{4} + 7 y^{4} = 1$

Étape 3.5.2

Factorisez $y^{4}$ à partir de $x y^{4} + 7 y^{4}$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $y^{4}$ à partir de $x y^{4}$ .

$y^{4} x + 7 y^{4} = 1$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $y^{4}$ à partir de $7 y^{4}$ .

$y^{4} x + y^{4} \cdot 7 = 1$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $y^{4}$ à partir de $y^{4} x + y^{4} \cdot 7$ .

$y^{4} (x + 7) = 1$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $y^{4} (x + 7) = 1$ par $x + 7$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y^{4} (x + 7) = 1$ par $x + 7$ .

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $y^{4}$ par $1$ .

$y^{4} = \frac{1}{x + 7}$

Étape 3.5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$

Étape 3.5.5

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ .

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Étape 3.5.5.1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$

Étape 3.5.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$

Étape 3.5.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Étape 3.5.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{\sqrt[4]{x + 7} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Étape 3.5.5.4.2

Élevez $\sqrt[4]{x + 7}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Étape 3.5.5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1 + 3}}$

Étape 3.5.5.4.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{4}}$

Étape 3.5.5.4.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{x + 7}}^{4}$ comme $x + 7$ .

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Étape 3.5.5.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{({(x + 7)}^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 3.5.5.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 3.5.5.4.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

Étape 3.5.5.4.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.5.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

Étape 3.5.5.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{1}}$

Étape 3.5.5.4.5.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{x + 7}$

Étape 3.5.5.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{x + 7}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Étape 3.5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Étape 3.5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Étape 3.5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- 7, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

${(x + 7)}^{3} \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{{(x + 7)}^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x + 7 \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.3.2.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x + 7 \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.3.2.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x + 7 \geq 0$

Étape 5.3.2.3

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 7$

Étape 5.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 7 = 0$

Étape 5.3.4

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 5.3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- 7, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

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Étape 5.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{4} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5.5

Déterminez la plage de l’inverse.

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Étape 5.5.1

Déterminez la plage de $\frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

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Étape 5.5.1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(1, \infty)$

Étape 5.5.2

Déterminez la plage de $- \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ .

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Étape 5.5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1)$

Étape 5.5.3

Déterminez l’union de $(1, \infty), (- \infty, - 1)$ .

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Étape 5.5.3.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5.6

Comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ n’est pas égal au domaine de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}, - \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6