Algèbre Exemples

$4 (\ln (z) + \ln (z + 5)) - 2 \ln (z - 5)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$4 \ln (z (z + 5)) - 2 \ln (z - 5)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \ln (z \cdot z + z \cdot 5) - 2 \ln (z - 5)$

Étape 1.3

Multipliez $z$ par $z$ .

$4 \ln (z^{2} + z \cdot 5) - 2 \ln (z - 5)$

Étape 1.4

Déplacez $5$ à gauche de $z$ .

$4 \ln (z^{2} + 5 \cdot z) - 2 \ln (z - 5)$

Étape 1.5

Simplifiez $4 \ln (z^{2} + 5 z)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\ln ({(z^{2} + 5 z)}^{4}) - 2 \ln (z - 5)$

Étape 1.6

Simplifiez $- 2 \ln (z - 5)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({(z^{2} + 5 z)}^{4}) - \ln ({(z - 5)}^{2})$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(z^{2} + 5 z)}^{4}}{{(z - 5)}^{2}})$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2} + 5 z$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2}$ .

$\ln (\frac{{(z \cdot z + 5 z)}^{4}}{{(z - 5)}^{2}})$

Étape 3.1.2

Factorisez $z$ à partir de $5 z$ .

$\ln (\frac{{(z \cdot z + z \cdot 5)}^{4}}{{(z - 5)}^{2}})$

Étape 3.1.3

Factorisez $z$ à partir de $z \cdot z + z \cdot 5$ .

$\ln (\frac{{(z (z + 5))}^{4}}{{(z - 5)}^{2}})$

Étape 3.2

Appliquez la règle de produit à $z (z + 5)$ .

$\ln (\frac{z^{4} {(z + 5)}^{4}}{{(z - 5)}^{2}})$