Algèbre Exemples

$f (x) = - 2 x^{2} - 2 x + 3$

Étape 1

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 2}{2 (- 2)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 2}{2 (- 2)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{- 2}{2 (- 2)}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 (- 2)}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.3.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 \frac{1}{2^{2}} - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{4}) - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.7

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2}) - 2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2}) + 3$

Étape 3.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2})) + 3$

Étape 3.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 + 3$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 1 + 3$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + 3$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + 3$

Étape 3.2.2.4

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{3}{1}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 + 6}{2}$

Étape 3.2.4.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 + 6}{2}$

Étape 3.2.4.3

Additionnez $1$ et $6$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$

Étape 3.2.5

La réponse finale est $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(- \frac{1}{2}, \frac{7}{2})$

Étape 5