Algèbre Exemples

$y = \frac{6^{x} - 7}{4}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{6^{y} - 7}{4}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{6^{y} - 7}{4} = x$ .

$\frac{6^{y} - 7}{4} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{6^{y} - 7}{4} = 4 x$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{6^{y} - 7}{4} = 4 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$6^{y} - 7 = 4 x$

Étape 2.4

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$6^{y} = 4 x + 7$

Étape 2.5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (6^{y}) = \ln (4 x + 7)$

Étape 2.6

Développez $\ln (6^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (6) = \ln (4 x + 7)$

Étape 2.7

Divisez chaque terme dans $y \ln (6) = \ln (4 x + 7)$ par $\ln (6)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (6) = \ln (4 x + 7)$ par $\ln (6)$ .

$\frac{y \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}$

Étape 2.7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6^{x} - 7}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{6^{x} - 7}{4})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6^{x} - 7}{4}) = \frac{\ln (4 (\frac{6^{x} - 7}{4}) + 7)}{\ln (6)}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6^{x} - 7}{4}) = \frac{\ln (4 (\frac{6^{x} - 7}{4}) + 7)}{\ln (6)}$

Étape 4.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6^{x} - 7}{4}) = \frac{\ln (6^{x} - 7 + 7)}{\ln (6)}$

Étape 4.2.3.2

Associez les termes opposés dans $6^{x} - 7 + 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6^{x} - 7}{4}) = \frac{\ln (6^{x} + 0)}{\ln (6)}$

Étape 4.2.3.2.2

Additionnez $6^{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6^{x} - 7}{4}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (6)}$

Étape 4.2.4

Développez $\ln (6^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (\frac{6^{x} - 7}{4}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $\ln (6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6^{x} - 7}{4}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Étape 4.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6^{x} - 7}{4}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}) = \frac{6^{\frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}} - 7}{4}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}) = \frac{6^{\log_{6} (4 x + 7)} - 7}{4}$

Étape 4.3.3.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}) = \frac{4 x + 7 - 7}{4}$

Étape 4.3.3.3

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f (\frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Étape 4.3.3.4

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$f (\frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6^{x} - 7}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (4 x + 7)}{\ln (6)}$