Algèbre Exemples

$f (x) = - 12 x^{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - 12 x^{3}$ comme une équation.

$y = - 12 x^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - 12 y^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 12 y^{3} = x$ .

$- 12 y^{3} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- 12 y^{3} = x$ par $- 12$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 12 y^{3} = x$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 y^{3}}{- 12} = \frac{x}{- 12}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 y^{3}}{- 12} = \frac{x}{- 12}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 12}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{x}{12}$

Étape 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{12}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{x}{12}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $- \frac{x}{12}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{12}$ .

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Étape 3.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{x}{12}}$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{12}}$

Étape 3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{12}}$

Étape 3.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{x}{12}}$

Étape 3.4.4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x}{12}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$

Étape 3.4.5

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}})$

Étape 3.4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{\sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

Étape 3.4.6.2

Élevez $\sqrt[3]{12}$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{1} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

Étape 3.4.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{3}}$

Étape 3.4.6.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{12}}^{3}$ comme $12$ .

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Étape 3.4.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{12}$ comme $12^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{(12^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.6.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.6.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{1}}$

Étape 3.4.6.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12}$

Étape 3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.7.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{12}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{12^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{12^{2}}}{12}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{144}}{12}$

Étape 3.4.7.3

Réécrivez $144$ comme $2^{3} \cdot 18$ .

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Étape 3.4.7.3.1

Factorisez $8$ à partir de $144$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{8 (18)}}{12}$

Étape 3.4.7.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{12}$

Étape 3.4.7.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \cdot 2 \sqrt[3]{18}}{12}$

Étape 3.4.7.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{12}$

Étape 3.4.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.4.8.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 3.4.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{x \cdot 18}$ .

$y = - \frac{2 (\sqrt[3]{x \cdot 18})}{12}$

Étape 3.4.8.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.8.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.4.8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{2 \cdot 6}$

Étape 3.4.8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x \cdot 18}}{6}$

Étape 3.4.8.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 18}}{6}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ est l’inverse de $f (x) = - 12 x^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 12 x^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{18 (- 12 x^{3})}}{6}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $- 12$ par $18$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{- 216 x^{3}}}{6}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $- 216 x^{3}$ comme ${(- 6 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{{(- 6 x)}^{3}}}{6}$

Étape 5.2.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{- 6 x}{6}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $6$ .

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Étape 5.2.4.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6}$

Étape 5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6 (1)}$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6 \cdot 1}$

Étape 5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{- x}{1}$

Étape 5.2.4.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 {(- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})}^{3}$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})}^{3})$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{18 x}}^{3}}{6^{3}}))$

Étape 5.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{\sqrt[3]{18 x}}^{3}}{6^{3}})$

Étape 5.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{18 x}}^{3}$ comme $18 x$ .

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Étape 5.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{18 x}$ comme ${(18 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{({(18 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}})$

Étape 5.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}})$

Étape 5.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}})$

Étape 5.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}})$

Étape 5.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{6^{3}})$

Étape 5.3.5.5

Simplifiez

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{6^{3}})$

Étape 5.3.6

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{216})$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 5.3.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{18 x}{216}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 \frac{- 18 x}{216}$

Étape 5.3.7.2

Factorisez $12$ à partir de $- 12$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 (- 1) (\frac{- 18 x}{216})$

Étape 5.3.7.3

Factorisez $12$ à partir de $216$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 \cdot (- 1 \frac{- 18 x}{12 \cdot 18})$

Étape 5.3.7.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 \cdot (- 1 \frac{- 18 x}{12 \cdot 18})$

Étape 5.3.7.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{- 18 x}{18}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $18$ .

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Étape 5.3.8.1

Factorisez $18$ à partir de $- 18 x$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18}$

Étape 5.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.8.2.1

Factorisez $18$ à partir de $18$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18 (1)}$

Étape 5.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18 \cdot 1}$

Étape 5.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Étape 5.3.8.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 (- x)$

Étape 5.3.9

Multipliez $- 1 (- x)$ .

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Étape 5.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 1 x$

Étape 5.3.9.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ est l’inverse de $f (x) = - 12 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$