Algèbre Exemples

$y = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$ .

${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (x)$

Étape 2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Développez $\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{5^{y}}{2}) = \ln (x)$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\ln (\frac{5^{y}}{2})$ comme $\ln (5^{y}) - \ln (2)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (5^{y}) - \ln (2)) = \ln (x)$

Étape 2.3.3

Développez $\ln (5^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2)) = \ln (x)$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Simplifiez $\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2))$ .

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Étape 2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (y \ln (5)) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $\frac{1}{2} (y \ln (5))$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Associez $y$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{2} \ln (5) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Étape 2.4.1.2.2

Associez $\frac{y}{2}$ et $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Étape 2.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$

Étape 2.5

Multiplier chaque terme dans $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.5.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ par $2$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Étape 2.5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y \ln (5) - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Étape 2.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (2)}{2}$ dans le numérateur.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Étape 2.5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Étape 2.5.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \ln (5) - \ln (2) = \ln (x) \cdot 2$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (x)$ .

$y \ln (5) - \ln (2) = 2 \ln (x)$

Étape 2.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$y \ln (5) - \ln (2) - 2 \ln (x) = 0$

Étape 2.7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.7.1

Ajoutez $\ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$y \ln (5) - 2 \ln (x) = \ln (2)$

Étape 2.7.2

Ajoutez $2 \ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$

Étape 2.8

Divisez chaque terme dans $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 2.8.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ par $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 2.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 2.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 2.8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5^{x}}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{{(5^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez les exposants dans ${(5^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{x (\frac{1}{2})}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.2.2

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez $2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln ({(\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.5

Multipliez les exposants dans ${(5^{\frac{x}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.6.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.4.6.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.6.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.4.6.2

Évaluez l’exposant.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.5

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Étape 4.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Étape 4.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Étape 4.2.7

Développez $\ln (5^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 4.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Étape 4.2.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2) + \ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3.4.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2 x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3.4.3

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\log_{5} (2 x^{2})}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3.4.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3.5.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3.5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.3.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.3.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.3.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$